Verifique a aproximação linear dada em . A seguir, determine os valores de para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1 .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que verificar se a aproximação linear da função em é realmente . Depois, precisamos encontrar os valores de para os quais essa aproximação tem uma precisão de 0,1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e aproximação linear.
Passo 2
Vamos começar calculando a aproximação linear de em . A aproximação linear de uma função perto de é dada por:
Aqui, . Primeiro, calculamos :
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de e avaliá-la em . A função é:
A derivada de usando a regra da cadeia é:
Avaliando em :
Passo 4
Agora que temos e , podemos montar a aproxima��ão linear:
Isso confirma que a aproximação dada no enunciado está correta.
Passo 5
Agora, vamos determinar para quais valores de a aproximação linear tem uma precisão de 0,1. Isso significa que a diferença entre e deve ser menor ou igual a 0,1:
Substituindo e :
Passo 6
Vamos resolver a desigualdade:
Para facilitar, vamos considerar que é aproximadamente , então a diferença será pequena. Para encontrar os valores de , podemos testar valores próximos a 0 ou usar métodos numéricos. Porém, para simplicidade, vamos resolver aproximadamente.
Passo 7
Vamos elevar ambos os lados à quarta potência para eliminar a raiz:
Expandindo o lado direito (usando o binômio de Newton):
Comparando com o lado esquerdo , vemos que os termos de ordem superior a devem ser pequenos para que a aproximação seja válida dentro da precisão de 0,1.
Passo 8
Assim, a precisão de 0,1 será atingida quando os termos forem menores ou iguais a 0,1 em valor absoluto. Para simplificar, consideramos principalmente o termo quadrático:
Portanto:
Resposta
A aproximação linear é válida com precisão de 0,1 para valores de no intervalo .