Calcule a derivada das seguintes funções:
a) H(x)=integralx^2^log 4 x cos t d t, x in(0,+infty)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada da função , onde está no intervalo . Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente a Regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites que dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Regra de Leibniz. Ela diz que se temos uma função definida por uma integral com limites que são funções de F(x) = integralu(x)^v(x) f(t) , dt , ou seja:
F'(x) = f(v(x)) cdot v'(x) - f(u(x)) cdot u'(x)
Então, a derivada de em relação a é:
Isso significa que derivamos a função integrando no limite superior multiplicado pela derivada do limite superior, menos a mesma coisa para o limite inferior.

Passo 3

Aplicando essa regra à nossa função f(t) = cos t , identificamos:
u(x) = x^2 e v(x) = log4 x
u'(x) = ddx x^2 = 2x
Agora, vamos encontrar as derivadas de v(x) = log4 x = ln xln 4 Rightarrow v'(x) = 1x ln 4 e :

Passo 4

Agora, aplicando a Regra de Leibniz:
H'(x) = f(v(x)) cdot v'(x) - f(u(x)) cdot u'(x)
Substituindo os valores que encontramos:
H'(x) = cos(log4 x) cdot 1x ln 4 - cos(x^2) cdot 2x

Resposta

A derivada da função H'(x) = cos(log4 x)x ln 4 - 2x cos(x^2) é:

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