Calcule as seguintes integrais indefinidas:
j) integral sen(2 x) cdot 3^cos ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com técnicas de substituição. Para resolver essa integral, vamos precisar usar a substituição adequada e entender como derivar funções exponenciais com expoentes que são funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que . Então, podemos reescrever a integral assim:

Passo 3

Agora, vamos identificar uma substituição que facilite a integração. Observamos que u = cos x está no expoente de 3, então vamos definir:
du = -sen(x) dx Rightarrow -du = sen(x) dx
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Vamos expressar a integral em termos de integral 2 sen(x) cos(x) cdot 3^cos^2 x dx = 2 integral cos(x) cdot 3^u^2 cdot sen(x) dx = 2 integral -u cdot 3^u^2 du . Substituindo = -2 integral u cdot 3^u^2 du e , temos:

Passo 5

Agora, para integrar v = u^2 , vamos usar outra substituição. Definimos:
dv = 2u du Rightarrow dv2 = u du
Então, a derivada de é:

Passo 6

Substituindo na integral:
-2 integral u cdot 3^u^2 du = -2 integral 3^v cdot dv2 = -integral 3^v dv
A integral de integral 3^v dv = 3^vln 3 + C em relação a - 3^vln 3 + C é:
Então, temos:

Passo 7

Agora, voltamos às substituições anteriores. Lembrando que - 3^cos^2xln 3 + C e , substituímos de volta:

Resposta

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