Sejam e sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se então .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos duas sequências numéricas, e . A afirmação que precisamos analisar é: "Se , então ". Nosso objetivo é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar a resposta. Para isso, vamos precisar entender conceitos de limite de sequências e a propriedade da função valor absoluto.
Passo 2
Vamos começar revisando o conceito de limite de uma sequência. Dizemos que uma sequência converge para se, à medida que cresce, os termos se aproximam cada vez mais de . Matemáticamente, escrevemos isso como quando .
Passo 3
Agora, precisamos entender o que acontece quando aplicamos a função valor absoluto aos termos da sequência. A função valor absoluto, representada por , simplesmente transforma qualquer número em seu valor não negativo. Por exemplo, e .
Passo 4
A questão central aqui é saber se, ao aplicar o valor absoluto aos termos da sequência que converge, a nova sequência resultante também converge para o valor absoluto do limite original. Em outras palavras, se , será que ?
Passo 5
Vamos pensar em um exemplo. Suponha que , que sabemos que converge para porque, conforme aumenta, fica cada vez menor, aproximando-se de . Aplicando o valor absoluto, temos , que também converge para . Aqui, a afirmação funciona.
Passo 6
Vamos considerar outro exemplo onde a sequência converge para um número negativo. Suponha que , que converge para também. Aplicando o valor absoluto, , que novamente converge para . A afirmação ainda é verdadeira.
Passo 7
De fato, de maneira geral, a função valor absoluto é contínua. Isso significa que se uma sequência converge para um certo limite, ao aplicar uma função contínua a essa sequência, o limite da nova sequência será a função aplicada ao limite original. Portanto, se , então .