Sejam (a_n)_{n ∈ N} e (b_n)_{n em N} sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se an -> a então |a_n| -> |a|.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos duas sequências numéricas, (a_n)_{n ∈ N} e (b_n)_{n em N}. A afirmação que precisamos analisar é: "Se an -> a, então ". Nosso objetivo é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar a resposta. Para isso, vamos precisar entender conceitos de limite de sequências e a propriedade da função valor absoluto.

Passo 2

Vamos começar revisando o conceito de limite de uma sequência. Dizemos que uma sequência a_n converge para a se, à medida que n cresce, os termos a_n se aproximam cada vez mais de a. Matemáticamente, escrevemos isso como an -> a quando n -> infinito.

Passo 3

Agora, precisamos entender o que acontece quando aplicamos a função valor absoluto aos termos da sequência. A função valor absoluto, representada por , simplesmente transforma qualquer número em seu valor não negativo. Por exemplo, e .

Passo 4

A questão central aqui é saber se, ao aplicar o valor absoluto aos termos da sequência que converge, a nova sequência resultante também converge para o valor absoluto do limite original. Em outras palavras, se an -> a, será que ?

Passo 5

Vamos pensar em um exemplo. Suponha que , que sabemos que converge para 0 porque, conforme n aumenta, 1/n fica cada vez menor, aproximando-se de 0. Aplicando o valor absoluto, temos , que também converge para 0. Aqui, a afirmação funciona.

Passo 6

Vamos considerar outro exemplo onde a sequência converge para um número negativo. Suponha que , que converge para 0 também. Aplicando o valor absoluto, , que novamente converge para 0. A afirmação ainda é verdadeira.

Passo 7

De fato, de maneira geral, a função valor absoluto é contínua. Isso significa que se uma sequência converge para um certo limite, ao aplicar uma função contínua a essa sequência, o limite da nova sequência será a função aplicada ao limite original. Portanto, se an -> a, então .

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se an -> a, então .

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