Mostre que
[(n+1)/n^2 + ((n+1)^2)/n^3 + ... + ((n+1)^n)/n^(n+1)] → e-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a expressão
converge para quando tende ao infinito. Vamos usar conceitos de limites e séries para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão. Ela é uma soma onde cada termo tem a forma
para de 1 até . Podemos simplificar cada termo:

Passo 3

Agora, perceba que . Então, cada termo fica:

Passo 4

A soma toda fica então:
Isso se assemelha a uma soma de Riemann, que aproxima uma integral quando tende ao infinito.

Passo 5

Vamos considerar que, quando é grande, se aproxima de , já que .
Então, nossa soma se aproxima de:

Passo 6

Essa é exatamente a definição da integral de de 0 a 1:

Passo 7

Vamos calcular a integral:

Resposta

Portanto, a expressão dada converge para .

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