Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a expressão
converge para
quando
tende ao infinito. Vamos usar conceitos de limites e séries para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a expressão. Ela é uma soma onde cada termo tem a forma
para
de 1 até
. Podemos simplificar cada termo:
Passo 3
Agora, perceba que
. Então, cada termo fica:
Passo 4
A soma toda fica então:
Isso se assemelha a uma soma de Riemann, que aproxima uma integral quando
tende ao infinito.
Passo 5
Vamos considerar que, quando
é grande,
se aproxima de
, já que
.
Então, nossa soma se aproxima de:
Passo 6
Essa é exatamente a definição da integral de
de 0 a 1:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Resposta
Portanto, a expressão dada converge para
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se
então
.
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Calcule a derivada das seguintes funções.
(i)
(i)
Calcule a derivada das seguintes funções.
(k)
(k)