Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a expressão
converge para quando tende ao infinito. Vamos usar conceitos de limites e séries para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão. Ela é uma soma onde cada termo tem a forma
para de 1 até . Podemos simplificar cada termo:

Passo 3

Agora, perceba que . Então, cada termo fica:

Passo 4

A soma toda fica então:
Isso se assemelha a uma soma de Riemann, que aproxima uma integral quando tende ao infinito.

Passo 5

Vamos considerar que, quando é grande, se aproxima de , já que .
Então, nossa soma se aproxima de:

Passo 6

Essa é exatamente a definição da integral de de 0 a 1:

Passo 7

Vamos calcular a integral:

Resposta

Portanto, a expressão dada converge para .

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Sejam e sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se então .
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Calcule a derivada das seguintes funções.
(i)
Calcule a derivada das seguintes funções.
(k)