Calcule a derivada das seguintes funções nos pontos indicados:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função
no ponto
. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada de funções compostas e a regra da cadeia. Vamos precisar aplicar a derivada da função arco-tangente e saber como derivar frações envolvendo polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que está dentro da arco-tangente. Temos
. Vamos derivar
usando a regra da cadeia, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Vamos encontrar
. Como
, precisamos usar a regra do quociente para derivar essa fração. A regra do quociente é:
onde
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas individuais:
Agora aplicando na regra do quociente:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador:
Então,
Passo 6
Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar
:
Passo 7
Vamos simplificar o denominador:
Expandindo os quadrados:
Somando:
Então, o denominador fica:
Passo 8
Voltando à expressão de
:
Passo 9
Agora, substituímos
na derivada encontrada:
Resposta
A derivada de
no ponto
é igual a 1.
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.
Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.
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.