Calcule a derivada das seguintes funções nos pontos indicados: g(x) = arctg((x^2 - 1)/(x^2 + 1)), x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada de funções compostas e a regra da cadeia. Vamos precisar aplicar a derivada da função arco-tangente e saber como derivar frações envolvendo polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está dentro da arco-tangente. Temos . Vamos derivar usando a regra da cadeia, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Vamos encontrar . Como , precisamos usar a regra do quociente para derivar essa fração. A regra do quociente é:
onde e .

Passo 4

Calculando as derivadas individuais:
Agora aplicando na regra do quociente:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
Então,

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar :

Passo 7

Vamos simplificar o denominador:
Expandindo os quadrados:
Somando:
Então, o denominador fica:

Passo 8

Voltando à expressão de :

Passo 9

Agora, substituímos na derivada encontrada:

Resposta

A derivada de no ponto é igual a 1.

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