Calcule os seguintes limites: (a)
.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício envolve o estudo de limites, uma parte fundamental do cálculo que nos ajuda a entender o comportamento das funções próximas a certos pontos. Para resolver esse limite, vamos precisar aplicar a Regra de L’Hospital, que é útil quando encontramos uma forma indeterminada como
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
na expressão:
- Numerador:
- Denominador:
Como tanto o numerador quanto o denominador resultam em 0, temos uma forma indeterminada
. Nesse caso, podemos aplicar a Regra de L’Hospital.
Passo 3
A Regra de L’Hospital nos diz que, se
resulta em
ou
, podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente:
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador:
-
Derivada do numerador (
): -
Derivada do denominador (
):
Passo 5
Agora, substituímos
nas derivadas:
Passo 6
Aplicando a Regra de L’Hospital:
Resposta
O limite
é igual a
.
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.
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.
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