Calcule os seguintes limites: (a) .

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício envolve o estudo de limites, uma parte fundamental do cálculo que nos ajuda a entender o comportamento das funções próximas a certos pontos. Para resolver esse limite, vamos precisar aplicar a Regra de L’Hospital, que é útil quando encontramos uma forma indeterminada como .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos na expressão:
  • Numerador:
  • Denominador:
Como tanto o numerador quanto o denominador resultam em 0, temos uma forma indeterminada . Nesse caso, podemos aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital nos diz que, se resulta em ou , podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente:

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador ( ):
  • Derivada do denominador ( ):

Passo 5

Agora, substituímos nas derivadas:

Passo 6

Aplicando a Regra de L’Hospital:

Resposta

O limite é igual a .

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