Calcule a derivada das seguintes funções nos pontos indicados:

Passo 1

Então, vamos calcular a derivada da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada de funções logarítmicas e a regra da cadeia. Precisamos lembrar como derivar funções compostas e aplicar as fórmulas corretas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a regra da derivada para funções logarítmicas. A derivada de em relação a é dada por:
Aqui, , então precisamos encontrar a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos derivar . A derivada de é 1. Agora, para derivar , usamos a regra da cadeia. Seja , então:
A derivada de é . Portanto:

Passo 4

Agora, juntando tudo:
Substituindo na derivada de :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, unificamos os termos do numerador:
Então:
Agora, substituímos :

Resposta

A derivada da função no ponto é .

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Calcule os seguintes limites: (a) .
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