Calcule a derivada das seguintes funções nos pontos indicados:
Passo 1
Então, vamos calcular a derivada da função
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada de funções logarítmicas e a regra da cadeia. Precisamos lembrar como derivar funções compostas e aplicar as fórmulas corretas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a regra da derivada para funções logarítmicas. A derivada de
em relação a
é dada por:
Aqui,
, então precisamos encontrar a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar
. A derivada de
é 1. Agora, para derivar
, usamos a regra da cadeia. Seja
, então:
A derivada de
é
. Portanto:
Passo 4
Agora, juntando tudo:
Substituindo na derivada de
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão. Primeiro, unificamos os termos do numerador:
Então:
Agora, substituímos
:
Resposta
A derivada da função
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada das seguintes funções nos pontos indicados:
.
Calcule a derivada das seguintes funções nos pontos indicados:
.
Calcule os seguintes limites: (a)
.
Calcule os seguintes limites: (b)
.