Calcule a derivada das seguintes funções nos pontos indicados: f(x) = [sen(2x) cos(2x)]^2, x = pi/8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função no ponto . Vamos usar conceitos de derivação e identidades trigonométricas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Então, substituindo na função original:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de . Para isso, usamos a regra da cadeia. Lembre-se que a derivada de é e a derivada de é .

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando os termos:

Passo 5

Podemos simplificar ainda mais usando a identidade trigonométrica:
Aplicando isso com :

Passo 6

Agora, vamos substituir na derivada:

Resposta

A derivada da função no ponto é .

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