Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral indefinida
. Para resolver isso, vamos usar substituição trigonométrica e, se precisar, completar o quadrado. Isso vai nos ajudar a simplificar a expressão e integrar de maneira mais fácil. Vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e saber como fazer mudanças de variáveis na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte da integral que se encaixa no modelo para substituição trigonométrica. Observamos que temos
, que se parece com
. Nesse caso,
.
Para facilitar a integração, vamos fazer a substituição:
Isso porque
está relacionado a
na identidade trigonométrica
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
em termos de
. Derivando
em relação a
:
Também, substituindo
na expressão
:
Passo 4
Agora, vamos substituir tudo na integral original:
Simplificando:
Passo 5
Integrando
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos voltar à variável original
. Lembrando que fizemos a substituição
, então:
Usando um triângulo retângulo onde a hipotenusa é
, o lado adjacente é 4, e o oposto é
, temos:
Passo 7
Substituindo
de volta na expressão integrada:
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.
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Calcule:
Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
Calcule a derivada das seguintes funções nos pontos indicados:
.
Calcule a derivada das seguintes funções nos pontos indicados:
.