Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.
integral d xx^2 raizx^2-16

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral indefinida . Para resolver isso, vamos usar substituição trigonométrica e, se precisar, completar o quadrado. Isso vai nos ajudar a simplificar a expressão e integrar de maneira mais fácil. Vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e saber como fazer mudanças de variáveis na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte da integral que se encaixa no modelo para substituição trigonométrica. Observamos que temos x = 4 sec(theta) , que se parece com . Nesse caso, .
Para facilitar a integração, vamos fazer a substituição:
Isso porque está relacionado a na identidade trigonométrica .

Passo 3

Agora, vamos calcular dx = 4 sec(theta) tan(theta) dtheta em termos de raizx^2 - 16 = raiz16 sec^2(theta) - 16 = 4 tan(theta) . Derivando em relação a :
Também, substituindo na expressão :

Passo 4

Agora, vamos substituir tudo na integral original:
integral dxx^2 raizx^2-16 = integral 4 sec(theta) tan(theta) dtheta(16 sec^2(theta)) cdot 4 tan(theta)
Simplificando:
= integral 4 sec(theta) tan(theta)16 sec^2(theta) cdot 4 tan(theta) dtheta
= integral 116 sec(theta) dtheta
= 116 integral cos(theta) dtheta

Passo 5

Integrando 116 integral cos(theta) dtheta = 116 sin(theta) + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos voltar à variável original sec(theta) = x4 Rightarrow theta = sec^-1(x4) . Lembrando que fizemos a substituição sin(theta) = raizx^2 - 16x , então:
Usando um triângulo retângulo onde a hipotenusa é , o lado adjacente é 4, e o oposto é , temos:

Passo 7

Substituindo 116 sin(theta) + C = 116 cdot raizx^2 - 16x + C de volta na expressão integrada:

Resposta

A integral raizx^2 - 1616,x + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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