Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral indefinida . Para resolver isso, vamos usar substituição trigonométrica e, se precisar, completar o quadrado. Isso vai nos ajudar a simplificar a expressão e integrar de maneira mais fácil. Vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e saber como fazer mudanças de variáveis na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte da integral que se encaixa no modelo para substituição trigonométrica. Observamos que temos , que se parece com . Nesse caso, .
Para facilitar a integração, vamos fazer a substituição:
Isso porque está relacionado a na identidade trigonométrica .

Passo 3

Agora, vamos calcular em termos de . Derivando em relação a :
Também, substituindo na expressão :

Passo 4

Agora, vamos substituir tudo na integral original:
Simplificando:

Passo 5

Integrando :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos voltar à variável original . Lembrando que fizemos a substituição , então:
Usando um triângulo retângulo onde a hipotenusa é , o lado adjacente é 4, e o oposto é , temos:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão integrada:

Resposta

A integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

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Calcule:
Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
Calcule a derivada das seguintes funções nos pontos indicados: .
Calcule a derivada das seguintes funções nos pontos indicados: .