Calcule:
integral cotg(3 x) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral da cotangente de integral cot(3x) , dx , ou seja:
Para resolver essa integral, vamos precisar lembrar da fórmula da integral da cotangente e utilizar a técnica de substituição.

Passo 2

Sabemos que a cotangente pode ser expressa como:
cot(x) = cos(x)sin(x)
Então, podemos reescrever a integral assim:
integral cos(3x)sin(3x) , dx

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
u = sin(3x)
Agora, vamos derivar dudx = 3cos(3x) em relação a du = 3cos(3x) , dx :
Portanto,

Passo 4

Queremos expressar cos(3x) , dx = du3 em termos de . Dividindo ambos os lados por 3:

Passo 5

Substituindo na integral original:
integral cos(3x)sin(3x) , dx = integral 1u cdot du3 = 13 integral 1u , du

Passo 6

A integral de integral 1u , du = ln|u| + C em relação a é o logaritmo natural de :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à substituição inicial 13 ln|sin(3x)| + C , temos:

Resposta

A integral de integral cot(3x) , dx = 13 ln|sin(3x)| + C em relação a é:

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