Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a derivada da função
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo diferencial, mais especificamente a regra da cadeia. Vamo precisar entender como derivar funções compostas, que é o que essa função é.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que nossa função
é uma composição de duas funções: uma função externa que é algo elevado à quinta potência, e uma função interna que é
. Isso significa que vamos aplicar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções dentro de funções.
Passo 3
A regra da cadeia diz que se temos uma função composta
, a derivada dela é
. No nosso caso, a função externa
e a função interna
.
Passo 4
Vamos derivar a função externa
. A derivada dela é:
Passo 5
Agora, precisamos derivar a função interna
. Para isso, usamos a derivada da exponencial, que é a própria exponencial vezes a derivada do expoente. Ou seja:
Passo 6
Vamos derivar o expoente
. A derivada de
é
e a derivada de
é
(usando a regra da cadeia novamente). Então:
Passo 7
Agora, substituímos a derivada do expoente na expressão de
:
Passo 8
Finalmente, aplicamos a regra da cadeia para encontrar a derivada de
:
Resposta
A derivada da função é