Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x) = (e^(2*x^2 + cos(3*x)))^5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a derivada da função . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo diferencial, mais especificamente a regra da cadeia. Vamo precisar entender como derivar funções compostas, que é o que essa função é.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que nossa função é uma composição de duas funções: uma função externa que é algo elevado à quinta potência, e uma função interna que é . Isso significa que vamos aplicar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções dentro de funções.

Passo 3

A regra da cadeia diz que se temos uma função composta , a derivada dela é . No nosso caso, a função externa e a função interna .

Passo 4

Vamos derivar a função externa . A derivada dela é:

Passo 5

Agora, precisamos derivar a função interna . Para isso, usamos a derivada da exponencial, que é a própria exponencial vezes a derivada do expoente. Ou seja:

Passo 6

Vamos derivar o expoente . A derivada de é e a derivada de é (usando a regra da cadeia novamente). Então:

Passo 7

Agora, substituímos a derivada do expoente na expressão de :

Passo 8

Finalmente, aplicamos a regra da cadeia para encontrar a derivada de :

Resposta

A derivada da função é

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