Uma função
, é chamada função homogênea de grau
quando
para todo
e para todo
tal que
. Verifique se as funções seguintes são homogêneas. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer saber se a função
é homogênea. Função homogênea é aquela que, ao multiplicar as variáveis por um fator
, a função toda é multiplicada por
, onde
é o grau de homogeneidade. Para verificar isso, precisamos aplicar a definição e ver qual o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a definição da função homogênea substituindo
por
e
por
na função:
Passo 3
Agora, vamos simplificar os termos dentro da raiz:
Então:
Passo 4
Fatorando
de dentro da raiz, lembrando que
:
Porque
.
Passo 5
Agora, comparando com a definição de função homogênea:
Isso mostra que a função
se multiplica por
quando
e
são multiplicados por
.
Resposta
Sim, a função
é homogênea de grau 2.