Uma função f: A -> R, A subseteq R^2, é chamada função homogênea de grau lambda quando
f(t x, t y) = t^lambda f(x, y)
para todo t > 0 e para todo (x, y) em A tal que (t x, t y) in A. Verifique se as funções seguintes são homogêneas. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade.
(b) f(x, y) = raiz(x^4 + y^4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer saber se a função é homogênea. Função homogênea é aquela que, ao multiplicar as variáveis por um fator , a função toda é multiplicada por , onde é o grau de homogeneidade. Para verificar isso, precisamos aplicar a definição e ver qual o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a definição da função homogênea substituindo por e por na função:

Passo 3

Agora, vamos simplificar os termos dentro da raiz:
Então:

Passo 4

Fatorando de dentro da raiz, lembrando que :
Porque .

Passo 5

Agora, comparando com a definição de função homogênea:
Isso mostra que a função se multiplica por quando e são multiplicados por .

Resposta

Sim, a função é homogênea de grau 2.

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