Determine as raízes indicadas e as esboce no plano complexo de Argand-Gauss.
© As raízes quartas de
© As raízes quartas de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as raízes quartas de
. Isso está ligado à matéria de números complexos, especificamente sobre como encontrar as raízes de um número complexo. Para resolver, vamos precisar entender como representar números complexos na forma polar e usar o Teorema de De Moivre.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar
em forma polar. Um número complexo na forma
pode ser escrito como
, onde
é o módulo e
é o argumento.
Passo 3
Calculando o módulo
de
:
Passo 4
Agora, encontramos o argumento
. Como os coeficientes de
e
são iguais,
ou
radianos.
Passo 5
Então,
pode ser reescrito como:
Passo 6
Para encontrar as raízes quartas, usamos o Teorema de De Moivre, que nos diz que as raízes
-ésimas de um número complexo são dadas por:
onde
.
Passo 7
Aqui,
,
e
. Calculamos
.
Passo 8
Agora, aplicamos para cada
:
para
.
Passo 9
Calculando para cada
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
As quatro raízes quartas de
são: