Determine as raízes indicadas e as esboce no plano complexo de Argand-Gauss.
© As raízes quartas de 1+i

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as raízes quartas de . Isso está ligado à matéria de números complexos, especificamente sobre como encontrar as raízes de um número complexo. Para resolver, vamos precisar entender como representar números complexos na forma polar e usar o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar em forma polar. Um número complexo na forma pode ser escrito como , onde é o módulo e é o argumento.

Passo 3

Calculando o módulo de :

Passo 4

Agora, encontramos o argumento . Como os coeficientes de e são iguais, ou radianos.

Passo 5

Então, pode ser reescrito como:

Passo 6

Para encontrar as raízes quartas, usamos o Teorema de De Moivre, que nos diz que as raízes -ésimas de um número complexo são dadas por:
onde .

Passo 7

Aqui, , e . Calculamos .

Passo 8

Agora, aplicamos para cada :
para .

Passo 9

Calculando para cada :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

As quatro raízes quartas de são:

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