Encontre os valores positivos de para os quais a série converge.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar os valores positivos de para os quais a série converge. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, especialmente o Teste da Série , que nos ajuda a determinar se uma série do tipo converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Temos:
Então, a série original fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série . Esse teste diz que a série converge se e diverge se . No nosso caso, temos , que pode ser reescrito como . Comparando com o teste, precisamos que o expoente de no denominador seja maior que 1 para que a série converja.
Portanto, devemos ter:

Passo 4

Vamos resolver a inequação para encontrar :
Como é positivo, os valores de que tornam a série convergente estão entre 0 e .

Resposta

Os valores positivos de que fazem a série convergir são todos os números reais tais que:

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Suponha que são números positivos. Determine o que acontece com as seguintes sequências quando .
(a)
Calcule a derivada das seguintes funções
(d)
Calcule a derivada das seguintes funções
(g) .
Calcule a derivada das seguintes funções
(e)