Encontre os valores positivos de
para os quais a série
converge.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar os valores positivos de
para os quais a série
converge. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, especialmente o Teste da Série
, que nos ajuda a determinar se uma série do tipo
converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Temos:
Então, a série original fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série
. Esse teste diz que a série
converge se
e diverge se
. No nosso caso, temos
, que pode ser reescrito como
. Comparando com o teste, precisamos que o expoente de
no denominador seja maior que 1 para que a série converja.
Portanto, devemos ter:
Passo 4
Vamos resolver a inequação para encontrar
:
Como
é positivo, os valores de
que tornam a série convergente estão entre 0 e
.
Resposta
Os valores positivos de
que fazem a série
convergir são todos os números reais tais que: