Encontre os valores positivos de b para os quais a série sumn=1^infty b^ln n^2 converge.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar os valores positivos de para os quais a série converge. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, especialmente o Teste da Série , que nos ajuda a determinar se uma série do tipo converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Temos:
b^ln n^2 = e^ln(b) cdot ln n^2 = e^2 ln(b) cdot ln n = n^2 ln b
Então, a série original fica:
sumn=1^infty n^2 ln b

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série -2 ln b > 1 . Esse teste diz que a série converge se e diverge se . No nosso caso, temos , que pode ser reescrito como . Comparando com o teste, precisamos que o expoente de no denominador seja maior que 1 para que a série converja.
Portanto, devemos ter:

Passo 4

Vamos resolver a inequação para encontrar -2 ln b > 1 Rightarrow ln b < -12 Rightarrow b < e^-12 :
Como é positivo, os valores de que tornam a série convergente estão entre 0 e .

Resposta

Os valores positivos de 0 < b < e^-12 que fazem a série convergir são todos os números reais tais que:

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