Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função
. Aqui estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções compostas que envolvem funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecer as derivadas básicas dessas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos notar que
é uma constante, já que 5 é um número fixo. Lembrando que a derivada de uma constante é zero, mas como ela está no denominador, vamos tratar isso como um fator constante na derivada. Assim, podemos focar em derivar o numerador
.
Passo 3
A derivada de
envolve a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta
é
multiplicado pela derivada de
. Aqui, nosso
é
.
Passo 4
Agora, precisamos derivar
. Isso também é uma função composta, então usamos a regra da cadeia de novo. A derivada de
é
multiplicado pela derivada de
, onde
.
Passo 5
Vamos derivar
. Sabemos que a derivada de
é
. Então,
.
Passo 6
Substituindo de volta, a derivada de
é:
Passo 7
Agora, voltando à derivada de
, aplicando a regra da cadeia:
Passo 8
A derivada de 1 é 0. Então, a derivada do numerador
é apenas:
Resposta
A derivada da função
é: