Calcule a derivada das seguintes funções

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas, funções compostas e logaritmos. Vamos precisar entender como diferenciar funções que têm expoentes variáveis e também usar a diferenciação logarítmica para facilitar o processo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a diferenciação. Quando temos uma função na forma , é útil aplicar o logaritmo natural para simplificar. Então, começamos tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Aplicando o logaritmo natural:

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que quando diferenciamos , usamos a regra da cadeia:
E para o lado direito, usamos a regra do produto, já que temos multiplicando :

Passo 4

Vamos calcular cada parte da derivada:
  1. A derivada de é .
  2. A derivada de usa a regra da cadeia: .
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, vamos isolar multiplicando ambos os lados por :
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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Resolva a seguinte inequação modular:
Calcule a derivada das seguintes funções sendo um número real fixado.
pontos) Descreva as superfícies de nível da função , dada por