Calcule a derivada das seguintes funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas, funções compostas e logaritmos. Vamos precisar entender como diferenciar funções que têm expoentes variáveis e também usar a diferenciação logarítmica para facilitar o processo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a diferenciação. Quando temos uma função na forma
, é útil aplicar o logaritmo natural para simplificar. Então, começamos tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Aplicando o logaritmo natural:
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que quando diferenciamos
, usamos a regra da cadeia:
E para o lado direito, usamos a regra do produto, já que temos
multiplicando :
Passo 4
Vamos calcular cada parte da derivada:
- A derivada de
é . - A derivada de usa a regra da cadeia: .
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, vamos isolar
multiplicando ambos os lados por
:
Lembrando que , substituímos de volta:
Resposta
A derivada da função é: