Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas, funções compostas e logaritmos. Vamos precisar entender como diferenciar funções que têm expoentes variáveis e também usar a diferenciação logarítmica para facilitar o processo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a diferenciação. Quando temos uma função na forma , é útil aplicar o logaritmo natural para simplificar. Então, começamos tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Aplicando o logaritmo natural:
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que quando diferenciamos , usamos a regra da cadeia:
E para o lado direito, usamos a regra do produto, já que temos multiplicando :
Passo 4
Vamos calcular cada parte da derivada:
A derivada de é .
A derivada de usa a regra da cadeia: .
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, vamos isolar multiplicando ambos os lados por :