Calcule a derivada das seguintes funções sendo um número real fixado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função , onde é um número real fixo. Isso envolve conceitos de derivadas, como a regra da potência, a derivada de funções exponenciais e a derivada de funções onde a base e o expoente são variáveis. Vamos precisar lembrar dessas regras para resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar cada termo da função e pensar em como derivar cada um deles separadamente. A função é composta por quatro termos: , , e .

Passo 3

Vamos começar com o primeiro termo: .
Aqui, é uma constante (já que e fixado). Para derivar em relação a , usamos a regra da potência, que diz que a derivada de é .
Aplicando isso:

Passo 4

Agora, vamos para o segundo termo: .
Aqui, a base é uma constante ( ) e o expoente é a variável . Para derivar funções do tipo , onde é uma constante, usamos a seguinte regra:
Aplicando isso:

Passo 5

O terceiro termo é .
Esse termo é um pouco mais complicado porque tanto a base quanto o expoente são variáveis. Para derivar , podemos reescrever a função usando logaritmos para facilitar:
Agora, derivamos ambos os lados em relação a usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Por último, temos o termo .
Como é uma constante fixa, também é uma constante. A derivada de uma constante em relação a é zero:

Resposta

Somando as derivadas de cada termo, a derivada da função é:

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pontos) Descreva as superfícies de nível da função , dada por
Resolva:
c)