Calcule a derivada das seguintes funções
sendo
um número real fixado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função
, onde
é um número real fixo. Isso envolve conceitos de derivadas, como a regra da potência, a derivada de funções exponenciais e a derivada de funções onde a base e o expoente são variáveis. Vamos precisar lembrar dessas regras para resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar cada termo da função e pensar em como derivar cada um deles separadamente. A função é composta por quatro termos:
,
,
e
.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro termo:
.
Aqui,
é uma constante (já que
e fixado). Para derivar
em relação a
, usamos a regra da potência, que diz que a derivada de
é
.
Aplicando isso:
Passo 4
Agora, vamos para o segundo termo:
.
Aqui, a base é uma constante (
) e o expoente é a variável
. Para derivar funções do tipo
, onde
é uma constante, usamos a seguinte regra:
Aplicando isso:
Passo 5
O terceiro termo é
.
Esse termo é um pouco mais complicado porque tanto a base quanto o expoente são variáveis. Para derivar
, podemos reescrever a função usando logaritmos para facilitar:
Agora, derivamos ambos os lados em relação a
usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Por último, temos o termo
.
Como
é uma constante fixa,
também é uma constante. A derivada de uma constante em relação a
é zero:
Resposta
Somando as derivadas de cada termo, a derivada da função
é:
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Resolva:
c)
c)