Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão nos apresenta uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes que variam com . O objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e cumpre as condições iniciais dadas: e . Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la mais clara:
Aqui, é a segunda derivada de em relação a , e é a primeira derivada.

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos dividi-la em duas partes: a equação homogênea associada e uma solução particular. A equação homogênea é:
Vamos resolver essa parte primeiro.

Passo 4

Resolver a equação homogênea com coeficientes variáveis pode ser complicado, mas uma abordagem é tentar encontrar soluções por meio de substituições ou métodos de séries. Infelizmente, não há uma solução geral simples para todas as equa��ões desse tipo, então pode ser necessário usar métodos numéricos ou aproximados.

Passo 5

Após encontrar a solução geral da equação homogênea, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Isso geralmente envolve assumir uma forma para com base na função do lado direito e ajustar os coeficientes para satisfazer a equação.

Passo 6

Depois de obter a solução geral da homogênea e a solução particular , a solução geral da equação diferencial completa será:
Agora, usamos as condições iniciais e para encontrar os valores das constantes de integração presentes em .

Resposta

A solução da equação diferencial dada, que satisfaz as condições iniciais e , é , obtida através dos passos acima utilizando métodos de resolução de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes variáveis.

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Resolva a seguinte inequação modular:
O domínio da função em cada caso: ;
Calcule a derivada das seguintes funções
Calcule a derivada das seguintes funções sendo um número real fixado.