Calcule a derivada das seguintes funções
tan(x)/(1+(x+1)tan(x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente e a derivada da função tangente. Precisamos lembrar como aplicar a regra do quociente e como derivar funções trigonométricas e produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar nossa função , onde:
Para derivar , vamos usar a regra do quociente:

Passo 3

Vamos calcular e .
Derivada de :
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, derivamos .
Isso envolve derivar um produto: . Usamos a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente:
Substituindo:

Passo 6

Vamos expandir o numerador:
Observamos que os termos e se cancelam:

Passo 7

Sabemos que (identidade trigonométrica). Então:

Resposta

A derivada da função é:

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