Calcule a derivada das seguintes funções
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente e a derivada da função tangente. Precisamos lembrar como aplicar a regra do quociente e como derivar funções trigonométricas e produtos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar nossa função
, onde:
Para derivar
, vamos usar a regra do quociente:
Passo 3
Vamos calcular
e
.
Derivada de
:
Sabemos que , então:
Sabemos que
Passo 4
Agora, derivamos
.
Isso envolve derivar um produto:
. Usamos a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Substituindo:
Passo 6
Vamos expandir o numerador:
Observamos que os termos
e
se cancelam:
Passo 7
Sabemos que
(identidade trigonométrica). Então:
Resposta
A derivada da função é: