Mostre os seguintes itens abaixo
arcsen'(x) = 1 / raiz(1 - x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a derivada da função arco seno, representada por , é igual a . Isso envolve o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções inversas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções inversas e aplicar algumas regras básicas de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer que se , então, por definição das funções inversas, temos que . Isso significa que y é o ângulo cujo seno é x.

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. A derivada de x em relação a x é 1. Do outro lado, a derivada de em relação a x é , usando a regra da cadeia.
Então, temos:

Passo 4

Vamos resolver a equação para :
Mas queremos a derivada em termos de x, não de y. Sabemos que , então podemos usar a identidade trigonométrica para encontrar em termos de x.

Passo 5

Isolando na identidade trigonométrica:
Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

Portanto, a derivada da função arco seno é:

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