Mostre os seguintes itens abaixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a derivada da função arco seno, representada por
, é igual a
. Isso envolve o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções inversas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções inversas e aplicar algumas regras básicas de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer que se
, então, por definição das funções inversas, temos que
. Isso significa que y é o ângulo cujo seno é x.
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação
em relação a x. A derivada de x em relação a x é 1. Do outro lado, a derivada de
em relação a x é
, usando a regra da cadeia.
Então, temos:
Passo 4
Vamos resolver a equação para
:
Mas queremos a derivada em termos de x, não de y. Sabemos que
, então podemos usar a identidade trigonométrica
para encontrar
em termos de x.
Passo 5
Isolando
na identidade trigonométrica:
Substituindo de volta na expressão para
:
Resposta
Portanto, a derivada da função arco seno é: