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das seguintes funções
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
e precisa achar
, que é a derivada de
em relação a
. Isso se encaixa no estudo de derivadas implícitas, onde
é uma função de
. Pra resolver, vamos precisar usar a regra do produto e a derivada da função seno.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que
é função de
, precisamos aplicar a regra da cadeia ao derivar
.
A equação original:
Derivando ambos os lados:
Passo 3
Agora, aplicamos a regra do produto na derivada do lado esquerdo. A regra do produto diz que a derivada de
é
. Aqui,
e
.
Então:
Passo 4
Vamos derivar cada parte separadamente. A derivada de
é
. Já a derivada de
com respeito a
é
, usando a regra da cadeia.
Substituindo:
Passo 5
Nosso objetivo é isolar
. Vamos reorganizar a equação:
Agora, dividimos ambos os lados por
para resolver para
:
Passo 6
Simplificando a fração, a gente pode deixar assim:
Mas podemos manter a forma anterior para uma resposta mais direta.
Resposta
A derivada de
em relação a
é: