Encontre f'(x) das seguintes funções
sen(x) sen(y) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisa achar , que é a derivada de y em relação a x. Isso se encaixa no estudo de derivadas implícitas, onde y é uma função de x. Pra resolver, vamos precisar usar a regra do produto e a derivada da função seno.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Lembrando que y é função de x, precisamos aplicar a regra da cadeia ao derivar .
A equação original:
Derivando ambos os lados:

Passo 3

Agora, aplicamos a regra do produto na derivada do lado esquerdo. A regra do produto diz que a derivada de é . Aqui, e .
Então:

Passo 4

Vamos derivar cada parte separadamente. A derivada de sen x é cos(x). Já a derivada de com respeito a x é , usando a regra da cadeia.
Substituindo:

Passo 5

Nosso objetivo é isolar . Vamos reorganizar a equação:
Agora, dividimos ambos os lados por para resolver para :

Passo 6

Simplificando a fração, a gente pode deixar assim:
Mas podemos manter a forma anterior para uma resposta mais direta.

Resposta

A derivada de y em relação a x é:

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