Calcule a derivada das seguintes funções, usando a regra da cadeia:
x^x dica: x^x = (e^(ln x))^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai calcular a derivada da função usando a regra da cadeia. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções mais complexas. Para resolver isso, a gente vai precisar usar logaritmos e a regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever de uma forma que seja mais fácil de derivar. Sabemos que . Como o logaritmo de uma potência é o produto do expoente pelo logaritmo da base, isso fica .

Passo 3

Agora, nossa função está escrita como . Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de é .

Passo 4

Vamos identificar e precisar derivar . Para isso, usamos a regra do produto, já que é o produto de e .

Passo 5

Derivando :
  • A derivada de é 1.
  • A derivada de é .
    Então, aplicando a regra do produto:
    .

Passo 6

Agora que temos , voltamos à derivada de :
.

Passo 7

Lembrando que , podemos simplificar a expressão da derivada:
.

Resposta

A derivada de é .

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