Calcule a derivada das seguintes funções, usando a regra do produto:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos calcular a derivada da função utilizando a regra do produto. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas, especificamente com a regra do produto, que é usada quando temos uma função que é o produto de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da regra do produto. Podemos escrever como:
Assim, temos duas funções multiplicadas: e .

Passo 3

Agora, identificamos as duas funções que estão sendo multiplicadas:
Para aplicar a regra do produto, precisamos calcular as derivadas de e de .

Passo 4

Calculando a derivada de :
Sabemos que a derivada de é , ou seja:

Passo 5

Calculando a derivada de :
A derivada de é , então:

Passo 6

Aplicando a regra do produto:
A regra do produto diz que se , então:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Simplificando a expressão:
Vamos reescrever os termos para facilitar a visualização:
Podemos fatorar para simplificar ainda mais:

Resposta

A derivada da função é:

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