Calcule a derivada das seguintes funções, usando a regra do produto:
tg^2(x)

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para calcular a derivada da função tg^2(x) utilizando a regra do produto. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, onde vamos usar a regra do produto para encontrar a derivada de funções que são multiplicações de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a função que vamos derivar. A função tg^2(x) pode ser reescrita como . Assim, estamos lidando com o produto de duas funções iguais: e .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona a regra do produto. Se temos uma função , a derivada de f(x), que é , é dada por:
Isso significa que a derivada do produto é a derivada da primeira função multiplicada pela segunda mais a primeira função multiplicada pela derivada da segunda.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas individuais das funções u(x) e v(x). Sabemos que:
A derivada de tg x é . Então:

Passo 5

Aplicando a regra do produto com as derivadas que encontramos:

Passo 6

Agora, podemos simplificar a expressão somando os termos semelhantes:

Resposta

A derivada de tg^2(x) é .

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