Calcule a derivada das seguintes funções
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
. Vamos utilizar conceitos de derivação de funções exponenciais e logaritmos para facilitar o cálculo. Precisaremos aplicar a regra da cadeia e a derivada de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a derivação utilizando o logaritmo natural. Seja
. Aplicando o logaritmo natural dos dois lados, temos:
Passo 3
Usamos a propriedade dos logaritmos que diz
. Assim:
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então usamos a regra da cadeia:
Passo 5
Vamos calcular
. Para isso, aplicamos novamente o logaritmo natural:
Derivando ambos os lados:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão original:
Simplificando:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada da função
é: