Seja alpha uma constante real qualquer . Mostre que para todo x > 0,
x^α' = α x^(α-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar que a derivada de em relação a é igual a para todo . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente na regra do poder para derivadas. Para resolver, vamos usar a definição de derivada e aplicar essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação à variável. Matematicamente, a derivada de é definida como:
Vamos aplicar essa definição na função .

Passo 3

Substituindo na definição de derivada, temos:
Agora, para simplificar essa expressão, podemos usar a expansão binomial para , mas como tende a zero, termos de ordem superior em vão se tornar insignificantes.

Passo 4

Expandindo usando a aproximação para pequeno:
Isso simplifica a expressão da derivada para:

Passo 5

Simplificando o numerador:
Os cancelam, sobrando:

Resposta

Portanto, mostramos que para todo :

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