Seja
uma constante real qualquer . Mostre que para todo
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar que a derivada de
em relação a
é igual a
para todo
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente na regra do poder para derivadas. Para resolver, vamos usar a definição de derivada e aplicar essa regra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação à variável. Matematicamente, a derivada de
é definida como:
Vamos aplicar essa definição na função
.
Passo 3
Substituindo na definição de derivada, temos:
Agora, para simplificar essa expressão, podemos usar a expansão binomial para
, mas como
tende a zero, termos de ordem superior em
vão se tornar insignificantes.
Passo 4
Expandindo
usando a aproximação para
pequeno:
Isso simplifica a expressão da derivada para:
Passo 5
Simplificando o numerador:
Os
cancelam, sobrando:
Resposta
Portanto, mostramos que para todo
: