Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Vamos calcular a derivada da função
. Esse exercício faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente das regras de derivação de funções polinomiais e de potências. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar termos como
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a
. Em outras palavras, ela nos mostra como a função muda quando
muda um pouquinho.
Passo 3
Vamos separar a função em duas partes para facilitar a derivação:
e
. Assim, podemos derivar cada parte individualmente e depois juntar os resultados.
Passo 4
Vamos começar derivando
. A derivada de
em relação a
é 1. Isso porque, se você aumentar
um pouquinho,
aumenta exatamente na mesma quantidade.
Passo 5
Agora, vamos derivar
. Primeiro, reescrevemos
como
. A regra da potência nos diz que a derivada de
é
.
Aplicando isso a
:
Passo 6
Finalmente, combinamos as derivadas das duas partes. Como a função original é
, a derivada será a derivada de
menos a derivada de
:
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\left(\frac{x^{2}}{2}-x+1\right) \frac{d y}{d x}+(x-1) y=x \sqrt{y}$$
B - EDO de Clairaut
1
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
Res.:
tal que
.
Calcule a derivada das seguintes funções:
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}-\frac{1}{1+\frac{d y}{d x}}$$
Res.: ;
tal que
.
Res.: