Calcule a derivada das seguintes funções:
x - 1/x

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função . Esse exercício faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente das regras de derivação de funções polinomiais e de potências. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar termos como e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a . Em outras palavras, ela nos mostra como a função muda quando muda um pouquinho.

Passo 3

Vamos separar a função em duas partes para facilitar a derivação: e . Assim, podemos derivar cada parte individualmente e depois juntar os resultados.

Passo 4

Vamos começar derivando . A derivada de em relação a é 1. Isso porque, se você aumentar um pouquinho, aumenta exatamente na mesma quantidade.

Passo 5

Agora, vamos derivar . Primeiro, reescrevemos como . A regra da potência nos diz que a derivada de é .
Aplicando isso a :

Passo 6

Finalmente, combinamos as derivadas das duas partes. Como a função original é , a derivada será a derivada de menos a derivada de :

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\left(\frac{x^{2}}{2}-x+1\right) \frac{d y}{d x}+(x-1) y=x \sqrt{y}$$
(x^2 / 2 - x + 1) * dy/dx + (x - 1) * y = x * raiz(y)

B - EDO de Clairaut

1
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
raiz(y) = 1 + (arcsinh(x - 1) + C) / raiz(x^2 - 2x + 2)
Res.: y = x (dy/dx) + 1 - ln(dy/dx) tal que y = C*x + 1 - ln(C) ; { x = 1/p, y = 2 - ln(p) }.
Calcule a derivada das seguintes funções:
raiz(cube(x)) + x^3
integralC x y z d s, C é o segmento retilíneo de (0,0,0) a(1,2,3).
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}-\frac{1}{1+\frac{d y}{d x}}$$
Res.: y = x dy/dx - 1/(1 + dy/dx);
y = C * x - 1/(C + 1) tal que x = (1 + p)^(-2), y = (2*p + 1)(1 + p)^(-2).