, C é o segmento retilíneo de
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um problema onde precisamos calcular a integral de linha
. Aqui,
é um segmento de reta que vai de
até
. O conteúdo que vamos usar envolve cálculo de integrais de linha, especificamente integrais de funções escalares ao longo de uma curva. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva
, expressar
em termos dessa parametrização e, por fim, integrar a função dada ao longo do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como
é um segmento de reta de
a
, podemos usar uma parametrização linear. Vamos definir um parâmetro
que varia de 0 a 1, onde
corresponde ao ponto
e
ao ponto
. A parametrização fica:
Ou seja:
Passo 3
Agora, precisamos expressar
em termos de
. O diferencial de arco
é dado pela norma do vetor derivada da parametrização em relação a
multiplicada por
. Vamos calcular
:
A norma desse vetor é:
Então:
Passo 4
Agora, substituímos a parametrização na função que vamos integrar. A função é
, então:
Portanto:
Passo 5
Finalmente, substituímos tudo na integral original:
Vamos calcular a integral:
Resposta
Portanto, o valor da integral é:
Exercícios relacionados
Calcule a derivada das seguintes funções:
Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\left(\frac{x^{2}}{2}-x+1\right) \frac{d y}{d x}+(x-1) y=x \sqrt{y}$$
B - EDO de Clairaut
1
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
Res.:
tal que
.
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}-\frac{1}{1+\frac{d y}{d x}}$$
Res.: ;
tal que
.
Res.: