integralC x y z d s, C é o segmento retilíneo de (0,0,0) a(1,2,3).

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema onde precisamos calcular a integral de linha integralC x y z , ds. Aqui, C é um segmento de reta que vai de (0,0,0) até (1,2,3). O conteúdo que vamos usar envolve cálculo de integrais de linha, especificamente integrais de funções escalares ao longo de uma curva. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva C, expressar ds em termos dessa parametrização e, por fim, integrar a função dada ao longo do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Como C é um segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,3), podemos usar uma parametrização linear. Vamos definir um parâmetro t que varia de 0 a 1, onde t=0 corresponde ao ponto (0,0,0) e t=1 ao ponto (1,2,3). A parametrização fica:
r(t) = (1-0)t + 0 = t, (2-0)t + 0 = 2t, (3-0)t + 0 = 3t
Ou seja:
x(t) = t, y(t) = 2t, z(t) = 3t

Passo 3

Agora, precisamos expressar ds em termos de dt. O diferencial de arco ds é dado pela norma do vetor derivada da parametrização em relação a t multiplicada por dt. Vamos calcular r,'(t):
r,'(t) = (dxdt, dydt, dzdt) = (1, 2, 3)
A norma desse vetor é:
|r,'(t)| = raiz1^2 + 2^2 + 3^2 = raiz1 + 4 + 9 = raiz14
Então:
ds = raiz14 , dt

Passo 4

Agora, substituímos a parametrização na função que vamos integrar. A função é x y z, então:
x(t) = t, y(t) = 2t, z(t) = 3t
Portanto:
x(t) y(t) z(t) = t cdot 2t cdot 3t = 6t^3

Passo 5

Finalmente, substituímos tudo na integral original:
integralC x y z , ds = integral0^1 6t^3 cdot raiz14 , dt = 6raiz14 integral0^1 t^3 , dt
Vamos calcular a integral:
integral0^1 t^3 , dt = [t^44]0^1 = 14 - 0 = 14

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
integralC x y z , ds = 6raiz14 cdot 14 = 3raiz142

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