Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}-\frac{1}{1+\frac{d y}{d x}}$$
Res.:
;
tal que
.
Res.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) do tipo de Clairaut. A ideia aqui é encontrar a solução geral e, se existir, a solução singular dessa EDO específica. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial e métodos para resolver equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a EDO que precisamos resolver:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. Vamos chamar
. Substituindo na equação original, temos:
Passo 4
Agora, nossa equação fica:
Essa é uma equação linear em termos de
e
. O objetivo é expressar
em função de
e
.
Passo 5
A Equação de Clairaut tem a forma geral:
onde
é uma função de
. No nosso caso,
.
Passo 6
Para encontrar a solução geral, tratamos
como uma constante. Assim, a solução geral é:
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar a solução singular. Para isso, derivamos a equação original em relação a
e igualamos a zero:
Calculando a derivada:
Passo 8
Resolvendo para
:
Mas, para facilitar, podemos reescrever como:
Passo 9
Agora, substituímos
de volta na equação geral para encontrar
:
Substituindo
e
:
Passo 10
Simplificando
:
No entanto, ajustando os sinais corretamente:
Passo 11
Portanto, a solução singular é dada por:
com a restrição de que
, pois isso tornaria o denominador zero.
Resposta
A solução geral da EDO é:
E a solução singular é:
com a restrição de que
.
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