Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}-\frac{1}{1+\frac{d y}{d x}}$$
Res.: y = x dy/dx - 1/(1 + dy/dx);
y = C * x - 1/(C + 1) tal que x = (1 + p)^(-2), y = (2*p + 1)(1 + p)^(-2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) do tipo de Clairaut. A ideia aqui é encontrar a solução geral e, se existir, a solução singular dessa EDO específica. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial e métodos para resolver equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a EDO que precisamos resolver:
Aqui, representa a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. Vamos chamar . Substituindo na equação original, temos:

Passo 4

Agora, nossa equação fica:
Essa é uma equação linear em termos de e . O objetivo é expressar em função de e .

Passo 5

A Equação de Clairaut tem a forma geral:
onde é uma função de . No nosso caso, .

Passo 6

Para encontrar a solução geral, tratamos como uma constante. Assim, a solução geral é:
onde é uma constante arbitrária.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a solução singular. Para isso, derivamos a equação original em relação a e igualamos a zero:
Calculando a derivada:

Passo 8

Resolvendo para :
Mas, para facilitar, podemos reescrever como:

Passo 9

Agora, substituímos de volta na equação geral para encontrar :
Substituindo e :

Passo 10

Simplificando :
No entanto, ajustando os sinais corretamente:

Passo 11

Portanto, a solução singular é dada por:
com a restrição de que , pois isso tornaria o denominador zero.

Resposta

A solução geral da EDO é:
E a solução singular é:
com a restrição de que .

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