Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\left(\frac{x^{2}}{2}-x+1\right) \frac{d y}{d x}+(x-1) y=x \sqrt{y}$$
B - EDO de Clairaut
1
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
Res.:
tal que
.
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária de Clairaut. A nossa missão é encontrar a solução geral e, se rolar, a solução singular dessa equação. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as EDOs de Clairaut e aplicar alguns passos básicos de resolução. Preparado? Então vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os elementos que precisamos. A equação dada é:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, que vamos chamar de
para facilitar a escrita. Então:
Passo 3
Agora, a ideia das EDOs de Clairaut é que a solução geral tem uma forma linear, envolvendo uma constante
. Para encontrar essa solução geral, vamos tratar
como uma constante. Então, reescrevemos a equação:
Aqui, substituímos
por
, onde
é uma constante qualquer. Essa é nossa solução geral.
Passo 4
Mas as EDOs de Clairaut também podem ter uma solução singular, que é uma solução particular que não depende de
. Para encontrar a solução singular, seguimos dois passos:
- Derivamos a equação original em relação a
. - Resolvemos o sistema formado pela equação original e sua derivada.
Vamos começar derivando a equação original em relação a
:
Simplificando:
Fatorando
:
Para que essa equação seja válida, ou
ou
. A segunda opção nos dá a condição para a solução singular.
Passo 5
Vamos resolver a condição
para encontrar a relação entre
e
:
Agora, substituímos essa relação na equação original para encontrar
:
Substituindo
:
Resposta
Então, a solução geral da EDO de Clairaut é:
E a solução singular é:
com a restrição de que
.
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