Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\left(\frac{x^{2}}{2}-x+1\right) \frac{d y}{d x}+(x-1) y=x \sqrt{y}$$
(x^2 / 2 - x + 1) * dy/dx + (x - 1) * y = x * raiz(y)

B - EDO de Clairaut

1
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
raiz(y) = 1 + (arcsinh(x - 1) + C) / raiz(x^2 - 2x + 2)
Res.: y = x (dy/dx) + 1 - ln(dy/dx) tal que y = C*x + 1 - ln(C) ; { x = 1/p, y = 2 - ln(p) }.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária de Clairaut. A nossa missão é encontrar a solução geral e, se rolar, a solução singular dessa equação. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as EDOs de Clairaut e aplicar alguns passos básicos de resolução. Preparado? Então vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os elementos que precisamos. A equação dada é:
Aqui, d/y d/x é a derivada de y em relação a x, que vamos chamar de p para facilitar a escrita. Então:

Passo 3

Agora, a ideia das EDOs de Clairaut é que a solução geral tem uma forma linear, envolvendo uma constante C. Para encontrar essa solução geral, vamos tratar p como uma constante. Então, reescrevemos a equação:
Aqui, substituímos p por C, onde C é uma constante qualquer. Essa é nossa solução geral.

Passo 4

Mas as EDOs de Clairaut também podem ter uma solução singular, que é uma solução particular que não depende de C. Para encontrar a solução singular, seguimos dois passos:
  1. Derivamos a equação original em relação a x.
  2. Resolvemos o sistema formado pela equação original e sua derivada.
Vamos começar derivando a equação original em relação a x:
Simplificando:
Fatorando :
Para que essa equação seja válida, ou ou . A segunda opção nos dá a condição para a solução singular.

Passo 5

Vamos resolver a condição para encontrar a relação entre x e p:
Agora, substituímos essa relação na equação original para encontrar y:
Substituindo :

Resposta

Então, a solução geral da EDO de Clairaut é:
E a solução singular é:
com a restrição de que .

Exercícios relacionados

Calcule a derivada das seguintes funções:
raiz(cube(x)) + x^3
Diferencie as seguintes funções trigonométricas:
f(x) = -sen(x)
Calcule a derivada das seguintes funções:
x - 1/x
integralC x y z d s, C é o segmento retilíneo de (0,0,0) a(1,2,3).