Calcule a derivada das seguintes funções
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função
. Aqui, a matéria que estamos trabalhando é cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas de funções que envolvem quocientes. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente, que nos ajuda a derivar funções que são divisões de duas outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar duas partes da nossa função: o numerador e o denominador. No caso, o numerador é
e o denominador é
. A regra do quociente diz que a derivada de
é dada por:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
e
.
Primeiro, para
, a derivada é:
Em seguida, para
, lembrando que
, temos:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos aplicar a regra do quociente. Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, distribua
:
Agora, simplifique
:
Substituindo de volta no numerador:
Para simplificar, vamos deixar todas as potências de
com expoentes fracionários:
Agora, combinando os termos:
Então, a derivada fica:
Podemos fatorar
no numerador:
Resposta
A derivada da função
é: