Calcule a derivada das seguintes funções
x^2 / (1 + raiz(x))

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Aqui, a matéria que estamos trabalhando é cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas de funções que envolvem quocientes. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente, que nos ajuda a derivar funções que são divisões de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar duas partes da nossa função: o numerador e o denominador. No caso, o numerador é e o denominador é . A regra do quociente diz que a derivada de é dada por:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de e .
Primeiro, para , a derivada é:
Em seguida, para , lembrando que , temos:

Passo 4

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do quociente. Substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, distribua :
Agora, simplifique :
Substituindo de volta no numerador:
Para simplificar, vamos deixar todas as potências de com expoentes fracionários:
Agora, combinando os termos:
Então, a derivada fica:
Podemos fatorar no numerador:

Resposta

A derivada da função é:

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