Resolva:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Esse tipo de problema está na área de Equações Diferenciais, que estuda como funções mudam. Para resolver, vamos usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
. Vamos mover
para o outro lado da igualdade:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função cuja derivada seja igual aos termos que temos.
Integrando o lado esquerdo com respeito a
:
E integrando o lado direito com respeito a
:
Passo 4
Vamos juntar as integrações e considerar uma constante geral
:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Passo 5
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Passo 6
Com o valor de
encontrado, substituímos de volta na equação geral:
Podemos simplificar fatorando o 2:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial é:
Considerando a condição
, escolhemos o sinal negativo:
Exercícios relacionados
Calcule a derivada das seguintes funções
sendo
um número real fixado.
A função
é diferenciável? Justifique com detalhes.
se
e
.
Uma função
é chamada homogênea de
-ésimo grau, se
satisfaz a equação
para todo
, onde
é um inteiro positivo e
tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Mostre que, se
é homogênea de grau
, então