Resolva:
c) sen(x) dx + y dy = 0, y(0) = -2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial . Esse tipo de problema está na área de Equações Diferenciais, que estuda como funções mudam. Para resolver, vamos usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis x e y. Vamos mover para o outro lado da igualdade:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função cuja derivada seja igual aos termos que temos.
Integrando o lado esquerdo com respeito a y:
E integrando o lado direito com respeito a x:

Passo 4

Vamos juntar as integrações e considerar uma constante geral C:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:

Passo 5

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de C. Substituindo x = 0 e na equação:

Passo 6

Com o valor de C encontrado, substituímos de volta na equação geral:
Podemos simplificar fatorando o 2:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial é:
Considerando a condição , escolhemos o sinal negativo:

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