Calcule a derivada das seguintes funções
x^sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo! A gente precisa calcular a derivada da função . Aqui, estamos lidando com derivadas de funções que têm variáveis tanto na base quanto no expoente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de logaritmos e regras de derivação, como a regra da cadeia. Então, vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, para facilitar a derivação de funções onde tanto a base quanto o expoente são funções de , usamos o logaritmo natural. Isso é útil porque transforma a exponenciação em multiplicação, o que é mais fácil de derivar.
Vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão usando uma propriedade dos logaritmos: . Aplicando isso na nossa equação:

Passo 4

Em seguida, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então usaremos a regra da cadeia na derivada do lado esquerdo.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito, que é um produto de duas funções ( e ), usamos a regra do produto:
Então, a derivada completa fica:

Passo 5

Agora, para encontrar , vamos isolar essa derivada multiplicando ambos os lados da equação por :
Lembrando que , podemos substituir de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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