Calcule a derivada das seguintes funções
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo! A gente precisa calcular a derivada da função
. Aqui, estamos lidando com derivadas de funções que têm variáveis tanto na base quanto no expoente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de logaritmos e regras de derivação, como a regra da cadeia. Então, vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, para facilitar a derivação de funções onde tanto a base quanto o expoente são funções de
, usamos o logaritmo natural. Isso é útil porque transforma a exponenciação em multiplicação, o que é mais fácil de derivar.
Vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão usando uma propriedade dos logaritmos:
. Aplicando isso na nossa equação:
Passo 4
Em seguida, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então usaremos a regra da cadeia na derivada do lado esquerdo.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito, que é um produto de duas funções (
e
), usamos a regra do produto:
Então, a derivada completa fica:
Passo 5
Agora, para encontrar
, vamos isolar essa derivada multiplicando ambos os lados da equação por
:
Lembrando que
, podemos substituir de volta:
Resposta
A derivada da função
é:
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