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das seguintes funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada de
em relação a
para a função
. Aqui, vamos usar conceitos de derivação e derivação implícita, já que
aparece dos dois lados da equação. Precisamos lembrar das regras de derivação para funções exponenciais e como tratar variáveis que dependem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. A equação é:
Derivando ambos os lados:
Sabemos que a derivada de uma constante é zero, então:
Passo 3
Agora, vamos derivar
usando a regra do produto, que diz que a derivada de dois termos multiplicados é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo:
Sabemos que
e para
, usamos a regra da cadeia:
Então, substituindo esses valores:
Ou seja:
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar
, então vamos isolar esse termo. Vamos mover o termo que contém
para o lado esquerdo da equação:
Fatorando
:
Agora, basta dividir ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
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