Encontre f'(x) das seguintes funções
y = 1 + x * e^y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada de em relação a para a função . Aqui, vamos usar conceitos de derivação e derivação implícita, já que aparece dos dois lados da equação. Precisamos lembrar das regras de derivação para funções exponenciais e como tratar variáveis que dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . A equação é:
Derivando ambos os lados:
Sabemos que a derivada de uma constante é zero, então:

Passo 3

Agora, vamos derivar usando a regra do produto, que diz que a derivada de dois termos multiplicados é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo:
Sabemos que e para , usamos a regra da cadeia:
Então, substituindo esses valores:
Ou seja:

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar , então vamos isolar esse termo. Vamos mover o termo que contém para o lado esquerdo da equação:
Fatorando :
Agora, basta dividir ambos os lados por para isolar :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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