Calcule a derivada das seguintes funções:
x/(x+3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função x/(x+3). Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre derivadas de funções racionais. Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é uma técnica para derivar funções que são divisões de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador na regra do quociente. Na função x/(x+3):
  • O numerador ( u) é x.
  • O denominador ( v) é .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona a regra do quociente. Se temos uma função , a derivada é dada por:
Onde:
  • é a derivada do numerador.
  • é a derivada do denominador.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de u e v:
  • Derivada de :
  • Derivada de :

Passo 5

Agora, vamos aplicar a regra do quociente substituindo u, , v e na fórmula:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão no numerador:
Então, a derivada simplificada fica:

Resposta

A derivada da função x/(x+3) é:

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