(1,0 ponto) integral0^1 r ln (r) d r

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício está relacionado ao cálculo integral, especificamente à integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a fórmula de integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . No nosso caso, temos e .

Passo 3

Agora, vamos calcular du = 1r , dr e v = integral r , dr = r^22 :

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula de integração por partes, temos:
integral0^1 r ln (r) , dr = ln(r) cdot r^22 |0^1 - integral0^1 r^22 cdot 1r , dr
Simplificando a segunda integral:
integral0^1 r^22 cdot 1r , dr = 12 integral0^1 r , dr

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a parte ln(1) cdot 1^22 = 0 cdot 12 = 0 :
Para ln(0) cdot 0^22 = (-infty) cdot 0 = 0 :
Para :
Portanto, essa parte toda é .

Passo 6

Agora, calculamos a segunda integral:
12 integral0^1 r , dr = 12 r^22 |0^1 = 12 ( 12 - 0 ) = 14

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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