Calcule a derivada das seguintes funções:
y = (2*x^2 - 1) / (x*raiz(1 + x^2))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa calcular a derivada dela. Isso envolve o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente e a regra da cadeia. Vamos precisar dessas regras para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que formam o numerador e o denominador. Aqui, o numerador é e o denominador é .

Passo 3

A derivada de uma função que é uma divisão de duas funções, como no nosso caso, pode ser encontrada usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que:
Onde é o numerador e é o denominador.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e separadamente.
Para :
Para , vamos usar a regra do produto, pois é o produto de e .

Passo 5

Aplicando a regra do produto para :
Calculando cada parte:
Então,

Passo 6

Agora, usando a regra do quociente:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador passo a passo.
Primeiro, multiplicamos por :
Em seguida, expandimos multiplicado por :
Então, o numerador fica:

Passo 8

Vamos combinar os termos semelhantes:
Para combinar esses termos, vamos colocar tudo sobre o mesmo denominador:
Expandindo o numerador:
Então, o numerador simplificado é .

Passo 9

Agora, substituindo de volta na expressão da derivada:

Resposta

A derivada da função é:

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