Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa calcular a derivada dela. Isso envolve o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente e a regra da cadeia. Vamos precisar dessas regras para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que formam o numerador e o denominador. Aqui, o numerador é
e o denominador é
.
Passo 3
A derivada de uma função que é uma divisão de duas funções, como no nosso caso, pode ser encontrada usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que:
Onde
é o numerador e
é o denominador.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
separadamente.
Para
:
Para
, vamos usar a regra do produto, pois
é o produto de
e
.
Passo 5
Aplicando a regra do produto para
:
Calculando cada parte:
Então,
Passo 6
Agora, usando a regra do quociente:
Passo 7
Vamos simplificar o numerador passo a passo.
Primeiro, multiplicamos
por
:
Em seguida, expandimos
multiplicado por
:
Então, o numerador fica:
Passo 8
Vamos combinar os termos semelhantes:
Para combinar esses termos, vamos colocar tudo sobre o mesmo denominador:
Expandindo o numerador:
Então, o numerador simplificado é
.
Passo 9
Agora, substituindo de volta na expressão da derivada:
Resposta
A derivada da função é: