Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a derivada da função
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo, especificamente de derivadas de funções mais complexas que envolvem potências de potências. Para resolver isso, vamos precisar usar a diferenciação logarítmica e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Quando temos uma função complicada como
, usar logaritmos pode simplificar as coisas. Então, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que
. Aplicando isso à nossa equação:
Passo 4
Precisamos derivar ambos os lados em relação a
. Para o lado esquerdo, vamos usar a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é:
Passo 5
No lado direito, temos
. Vamos precisar usar a regra do produto aqui, que diz que a derivada de
é
. Vamos chamar
e
.
Passo 6
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
. Para isso, usamos diferenciação logarítmica novamente:
Derivando ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, derivamos
:
Passo 8
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 9
Voltando à nossa equação original derivada:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A derivada de
é:
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Seja
Calcule
e