Calcule a derivada das seguintes funções:

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a derivada da função . Isso está dentro do conteúdo de cálculo, especificamente de derivadas de funções mais complexas que envolvem potências de potências. Para resolver isso, vamos precisar usar a diferenciação logarítmica e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Quando temos uma função complicada como , usar logaritmos pode simplificar as coisas. Então, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que . Aplicando isso à nossa equação:

Passo 4

Precisamos derivar ambos os lados em relação a . Para o lado esquerdo, vamos usar a regra da cadeia. A derivada de em relação a é:

Passo 5

No lado direito, temos . Vamos precisar usar a regra do produto aqui, que diz que a derivada de é . Vamos chamar e .

Passo 6

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . Para isso, usamos diferenciação logarítmica novamente:
Derivando ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Agora, derivamos :

Passo 8

Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 9

Voltando à nossa equação original derivada:
Multiplicando ambos os lados por para isolar :

Resposta

A derivada de é:

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Seja
Calcule e