O interior de um reservatório sem cobertura cujo fundo tem a forma de um quadrado que deve ser recoberto com um metal. A capacidade do reservatório é 32 I. Quais devem ser as dimensões do reservatório para que a quantidade de metal seja mínina
Dica:
AN-A SupErficue
Jownt
Enconth
e consins:
Dica:
AN-A SupErficue
Jownt
Enconth
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá rolando aqui. A gente tem um reservatório sem cobertura, com o fundo em formato de quadrado. A capacidade desse reservatório é de 32 litros, e a missão é descobrir quais devem ser as dimensões (o tamanho dos lados e a altura) para que a quantidade de metal usada para recobrir seja a menor possível. A gente vai precisar usar um pouco de geometria, principalmente sobre área e volume de sólidos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- Seja
o comprimento de um lado do fundo quadrado do reservatório. - Seja
a altura do reservatório.
Como o fundo é um quadrado, a área do fundo será
.
Passo 3
Sabemos que a capacidade do reservatório é o volume, que é dado por:
Essa capacidade é de 32 litros. Precisamos garantir que o volume seja igual a 32, ou seja:
Daí, podemos isolar
:
Passo 4
Agora, queremos minimizar a quantidade de metal usada para recobrir o reservatório. Isso significa minimizar a área total da superfície que será metálica. Como o reservatório não tem cobertura, a área metálica inclui:
- O fundo:
- As quatro laterais: cada uma com área
, então total de
Portanto, a área total a ser minimizada é:
Passo 5
Substituímos
da equação do volume na equação da área:
Passo 6
Para encontrar o valor de
que minimiza a área
, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora que temos
cm, vamos encontrar
usando a equação do volume:
Resposta
As dimensões do reservatório que minimizam a quantidade de metal utilizada são:
- Lados do fundo quadrado:
- Altura: