O interior de um reservatório sem cobertura cujo fundo tem a forma de um quadrado que deve ser recoberto com um metal. A capacidade do reservatório é 32 I. Quais devem ser as dimensões do reservatório para que a quantidade de metal seja mínina
Dica:
AN-A SupErficue

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Enconth e consins:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tá rolando aqui. A gente tem um reservatório sem cobertura, com o fundo em formato de quadrado. A capacidade desse reservatório é de 32 litros, e a missão é descobrir quais devem ser as dimensões (o tamanho dos lados e a altura) para que a quantidade de metal usada para recobrir seja a menor possível. A gente vai precisar usar um pouco de geometria, principalmente sobre área e volume de sólidos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Seja o comprimento de um lado do fundo quadrado do reservatório.
  • Seja a altura do reservatório.
Como o fundo é um quadrado, a área do fundo será .

Passo 3

Sabemos que a capacidade do reservatório é o volume, que é dado por:
á
Essa capacidade é de 32 litros. Precisamos garantir que o volume seja igual a 32, ou seja:
Daí, podemos isolar :

Passo 4

Agora, queremos minimizar a quantidade de metal usada para recobrir o reservatório. Isso significa minimizar a área total da superfície que será metálica. Como o reservatório não tem cobertura, a área metálica inclui:
  • O fundo:
  • As quatro laterais: cada uma com área , então total de
Portanto, a área total a ser minimizada é:

Passo 5

Substituímos da equação do volume na equação da área:

Passo 6

Para encontrar o valor de que minimiza a área , vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:
Resolvendo para :

Passo 7

Agora que temos cm, vamos encontrar usando a equação do volume:

Resposta

As dimensões do reservatório que minimizam a quantidade de metal utilizada são:
  • Lados do fundo quadrado:
  • Altura:

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