O comportamento de uma população de parasitas em uma vaca após a aplicação de veneno pode ser modelado
q(t)=10 t e^-t8
t em horas.
a) Após quantos horas a quantidade de parasitas é máxima?
b) Qual é a quantidade máxima de parasitas?
Resposta a) t=8
b) q(8) approx 37
q(t)=10 t e^-t8
d q(t)d t=dd t 10 t e^-t 8=10 cdot(dd t t cdot e^-t / 8+t cdot dd t e^-t / 8)=10 cdot(e^-t / 8+t e^-t / 9 cdot-18)=
=10(e^-t 18-tB e^-t 13)=10 e^-t / 8(1-t3)
RPNa Quprionot máxIMA D/ PANASIDAs: q^prime(epsilon)=0 Rightarrow 10 e^-t mid theta(1-t / B)=0 omo e^-t / 8 neq 0 paraqualquert.
a) km 8 hosas o quantilatus de poscsitas Sadé máximo.
1-t8=0 Rightarrow t=3
b) q(8)=10 cdot 10 cdot e^-8 / 8=100 cdot e^-1=100 / e approx 100 / 27 approx 37 Parcsioas.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos uma função que modela a quantidade de parasitas em uma vaca ao longo do tempo após a aplicação de veneno:
q(t) = 10, t, e^-t8
onde é o tempo em horas. Precisamos encontrar:
a) Após quantas horas a quantidade de parasitas é máxima?
b) Qual é essa quantidade máxima de parasitas?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, para encontrar o ponto onde a função atinge seu valor máximo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar quando a quantidade de parasitas é máxima. Isso acontece no ponto onde a derivada da função q(t) = 10, t, e^-t8 em relação ao tempo ddt[u(t) cdot v(t)] = u'(t) cdot v(t) + u(t) cdot v'(t) é igual a zero. Vamos calcular a derivada.
A função dada é:
u'(t) = 10
Para derivar essa função, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é:
v'(t) = e^-t8 cdot (-18) = -18 e^-t8
Aqui, q'(t) = u'(t) cdot v(t) + u(t) cdot v'(t) = 10 cdot e^-t8 + 10, t cdot (-18) e^-t8 e q'(t) = 10, e^-t8 (1 - t8) .
Calculando as derivadas:
Aplicando a regra do produto:

Passo 3

Agora, para encontrar o ponto máximo, igualamos a derivada a zero:
q'(t) = 10, e^-t8 (1 - t8) = 0
Sabemos que 1 - t8 = 0 nunca é zero para qualquer valor de t8 = 1 . Portanto, para a equação ser igual a zero, o que está dentro do parêntese deve ser zero:
t = 8 horas

Passo 4

Agora que sabemos que o tempo q(8) = 10 cdot 8 cdot e^-88 = 80 cdot e^-1 horas é quando a quantidade de parasitas é máxima, vamos calcular esse valor máximo substituindo q(8) approx 80 cdot 0,3679 approx 29,43 na função original:
Sabemos que , então:

Resposta

a) Após 8 horas a quantidade de parasitas é máxima.
b) A quantidade máxima de parasitas é aproximadamente 29,43.

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