Uma xícara de café quente tem a temperatura de em uma sala mantida a . Depois de meia hora, o chocolate quente esfriou para . Qual a temperatura do café depois de mais meia hora?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma xícara de café que está a em uma sala que está a . Depois de meia hora, o café esfriou para . A pergunta é: qual será a temperatura do café depois de mais meia hora?
Para resolver isso, vamos usar a Lei do Resfriamento de Newton, que nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está em contato com um ambiente de temperatura constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a Lei do Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura do objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. A fórmula matemática é:
Onde:
  • é a temperatura do objeto no tempo .
  • é a temperatura do ambiente.
  • é a constante de resfriamento, que depende das características do objeto e do ambiente.

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, podemos integrar e obter a fórmula geral da temperatura em função do tempo:
Onde:
  • é a temperatura inicial do objeto.
  • é a base do logaritmo natural.
  • é o tempo.
No nosso caso:
  • Após horas,

Passo 4

Vamos usar os dados que temos para encontrar a constante . Substituindo na fórmula:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 45:

Passo 5

Agora, para encontrar , vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Resolvendo para :
Calculando o valor:

Passo 6

Agora que temos , podemos encontrar a temperatura após mais meia hora, ou seja, após um total de 1 hora ( hora).
Usando a fórmula:
Calculando o expoente:
Então:

Resposta

Após mais meia hora, a temperatura do café será aproximadamente .

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