Uma xícara de café quente tem a temperatura de
em uma sala mantida a
. Depois de meia hora, o chocolate quente esfriou para
. Qual a temperatura do café depois de mais meia hora?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma xícara de café que está a
em uma sala que está a
. Depois de meia hora, o café esfriou para
. A pergunta é: qual será a temperatura do café depois de mais meia hora?
Para resolver isso, vamos usar a Lei do Resfriamento de Newton, que nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está em contato com um ambiente de temperatura constante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a Lei do Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura do objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. A fórmula matemática é:
Onde:
-
é a temperatura do objeto no tempo . -
é a temperatura do ambiente. -
é a constante de resfriamento, que depende das características do objeto e do ambiente.
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, podemos integrar e obter a fórmula geral da temperatura em função do tempo:
Onde:
-
é a temperatura inicial do objeto. -
é a base do logaritmo natural. -
é o tempo.
No nosso caso:
-
-
- Após
horas,
Passo 4
Vamos usar os dados que temos para encontrar a constante
. Substituindo na fórmula:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 45:
Passo 5
Agora, para encontrar
, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Resolvendo para
:
Calculando o valor:
Passo 6
Agora que temos
, podemos encontrar a temperatura após mais meia hora, ou seja, após um total de 1 hora (
hora).
Usando a fórmula:
Calculando o expoente:
Então:
Resposta
Após mais meia hora, a temperatura do café será aproximadamente
.
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Seja
tal que
. Use o TVI para mostrar que
assume o valor
.
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