Calcule o limite: .

Passo 1

Beleza! A gente tem que calcular o limite . Esse exercício é de Cálculo, mais especificamente de limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, a gente vai precisar lembrar de umas fórmulas básicas de limites trigonométricos e algumas propriedades de funções como seno e tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a tangente pode ser escrita em termos de seno e cosseno:
Então, podemos reescrever o denominador da nossa fração usando essa relação.

Passo 3

Substituindo na expressão original, temos:
Agora, a gente separa a fração em duas partes para facilitar:

Passo 4

Vamos analisar cada parte separadamente. Primeiro, olhe para . Sabemos que:
Então, podemos reescrever da seguinte forma:
Assim, usando o limite mencionado:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte: . Sabemos que o cosseno é uma função contínua, então:

Passo 6

Finalmente, juntando tudo:

Resposta

O limite é igual a .

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Calcule o limite da sequência:
Sejam e duas sequências de números reais, e suponha que . Calcule o limite do produto: .