Calcule o limite: L=lim x 0 sin (3 x)tan (5 x).

Passo 1

Beleza! A gente tem que calcular o limite . Esse exercício é de Cálculo, mais especificamente de limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, a gente vai precisar lembrar de umas fórmulas básicas de limites trigonométricos e algumas propriedades de funções como seno e tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a tangente pode ser escrita em termos de seno e cosseno:
tan(5x) = sin(5x)cos(5x)
Então, podemos reescrever o denominador da nossa fração usando essa relação.

Passo 3

Substituindo L = limx 0 sin(3x)sin(5x)cos(5x) = limx 0 sin(3x) cdot cos(5x)sin(5x) na expressão original, temos:
L = limx 0 ( sin(3x)sin(5x) cdot cos(5x) )
Agora, a gente separa a fração em duas partes para facilitar:

Passo 4

Vamos analisar cada parte separadamente. Primeiro, olhe para limx 0 sin(kx)kx = 1 . Sabemos que:
sin(3x)sin(5x) = sin(3x)3x cdot 5xsin(5x) cdot 35
Então, podemos reescrever limx 0 sin(3x)sin(5x) = 35 da seguinte forma:
Assim, usando o limite mencionado:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte: limx 0 cos(5x) = cos(0) = 1 . Sabemos que o cosseno é uma função contínua, então:

Passo 6

Finalmente, juntando tudo:
L = ( 35 ) cdot 1 = 35

Resposta

O limite é igual a .

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