Calcule a derivada das seguintes funçõese determine seus pontos singulares:
(i) f(z) = (3z - 1) / ((z - 1)(z + 4))
(ii) f(z) = (i*z^5 + 2*z - i) / ((z - 2*i)*(z + 1)^2)
(iii) f(z) = 1 / ((z - i) * z * (z^2 + i))
(iv) f(z) = (z - i) / (z + i)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de várias funções racionais e determinar seus pontos singulares. Vamos precisar usar as regras de derivação de funções racionais e entender onde as funções não estão definidas, ou seja, seus pontos singulares.

Passo 2

(i)

Primeiro, vamos calcular a derivada dessa função usando a regra do quociente, que diz que a derivada de é .
Passos para derivar:
  1. Identificamos e .
  2. Calculamos .
  3. Calculamos derivando: primeiro multiplicamos , então .
  4. Aplicamos a regra do quociente:
  1. Simplificamos o numerador:
  1. Então,
Pontos singulares:
São os valores de que fazem o denominador zero, ou seja, e .

Passo 3

(ii)

Vamos novamente usar a regra do quociente para derivar essa função.
Passos para derivar:
  1. Identificamos e .
  2. Calculamos .
  3. Calculamos derivando:
    • Primeiro, expandimos .
    • Então, .
  4. Aplicamos a regra do quociente:
  1. Simplificar completamente essa expressão pode ficar bastante trabalhoso, então geralmente deixamos a derivada nessa forma expandida.
Pontos singulares:
São os valores de que tornam o denominador zero, ou seja, e .

Passo 4

(iii)

Vamos derivar essa função usando a regra da cadeia e do quociente.
Passos para derivar:
  1. Podemos reescrever a função como .
  2. Aplicamos a regra do logaritmo para derivadas:
  3. Multiplicamos ambos os lados por :
  4. Substituindo :
  5. Simplificamos:
Pontos singulares:
São os valores de que tornam o denominador zero, ou seja, , e as raízes de , que são .

Passo 5

(iv)

Vamos derivar essa função usando a regra do quociente.
Passos para derivar:
  1. Identificamos e .
  2. Calculamos e .
  3. Aplicamos a regra do quociente:
Pontos singulares:
O ponto singular é onde o denominador é zero, ou seja, .

Resposta

As derivadas e pontos singulares das funções são:
(i)
Pontos singulares: e .
(ii)
Pontos singulares: e .
(iii)
Pontos singulares: , e .
(iv)
Ponto singular: .

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Mostre que a função f(z) = z^n, n ≥ 1, fornece uma bijeção entre o aberto {z: |z| > 0, 0 < arg(z) < pi/n} e o semi-plano superior {z: Im(z) > 0}. Determine a inversa dessa bijeção.
Exercício 14. Esboce o gráfico dos seguintes polinômios:
(a) f(x) = (x + 2) * (x - 1) * (x - 3);
© f(x) = x^3 - 1
(b) f(x) = 4(x - 2)(x^2 - 25);
Calcule exp((5 + pi*i)/4), exp((7 + 3*pi*i)/2), exp((-1 - 5*pi*i)/6).
Determine Im(e^(i sen(z))).