Calcule a derivada das seguintes funçõese determine seus pontos singulares:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de várias funções racionais e determinar seus pontos singulares. Vamos precisar usar as regras de derivação de funções racionais e entender onde as funções não estão definidas, ou seja, seus pontos singulares.
Passo 2
(i)
Primeiro, vamos calcular a derivada dessa função usando a regra do quociente, que diz que a derivada de
é
.
Passos para derivar:
- Identificamos
e . - Calculamos
. - Calculamos
derivando: primeiro multiplicamos , então . - Aplicamos a regra do quociente:
- Simplificamos o numerador:
- Então,
Pontos singulares:
São os valores de que fazem o denominador zero, ou seja,
e
.
São os valores de
Passo 3
(ii)
Vamos novamente usar a regra do quociente para derivar essa função.
Passos para derivar:
- Identificamos
e . - Calculamos
. - Calculamos
derivando: - Primeiro, expandimos
. - Então,
.
- Primeiro, expandimos
- Aplicamos a regra do quociente:
- Simplificar completamente essa expressão pode ficar bastante trabalhoso, então geralmente deixamos a derivada nessa forma expandida.
Pontos singulares:
São os valores de que tornam o denominador zero, ou seja,
e
.
São os valores de
Passo 4
(iii)
Vamos derivar essa função usando a regra da cadeia e do quociente.
Passos para derivar:
- Podemos reescrever a função como
. - Aplicamos a regra do logaritmo para derivadas:
- Multiplicamos ambos os lados por
: - Substituindo
: - Simplificamos:
Pontos singulares:
São os valores de que tornam o denominador zero, ou seja,
,
e as raízes de
, que são
.
São os valores de
Passo 5
(iv)
Vamos derivar essa função usando a regra do quociente.
Passos para derivar:
- Identificamos
e . - Calculamos
e . - Aplicamos a regra do quociente:
Pontos singulares:
O ponto singular é onde o denominador é zero, ou seja, .
O ponto singular é onde o denominador é zero, ou seja,
Resposta
As derivadas e pontos singulares das funções são:
(i)
Pontos singulares:
e
.
(ii)
Pontos singulares:
e
.
(iii)
Pontos singulares:
,
e
.
(iv)
Ponto singular:
.
Exercícios relacionados
Mostre que a função
, fornece uma bijeção entre o aberto
e o semi-plano superior
. Determine a inversa dessa bijeção.
Exercício 14. Esboce o gráfico dos seguintes polinômios:
(a) ;
© ;
(b) ;
(a)
©
(b)
Calcule
.
Determine
.