Mostre que a função
, fornece uma bijeção entre o aberto
e o semi-plano superior
. Determine a inversa dessa bijeção.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a função
, onde
, estabelece uma bijeção entre o conjunto aberto
e o semiplano superior
. Depois, vamos descobrir qual é a função inversa dessa bijeção. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções complexas, especialmente sobre como elas transformam números no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo
pode ser escrito na forma polar:
, onde
é o módulo e
é o argumento de
. A função
então fica:
Isso significa que quando levantamos
à potência
, o módulo é elevado a
e o argumento é multiplicado por
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto de partida:
. Ou seja, estamos considerando todos os números complexos com módulo positivo e argumento entre 0 e
. Quando aplicamos
, o argumento
vira
. Então, o novo argumento vai estar entre:
Então, o argumento de
está entre 0 e
, o que corresponde exatamente ao semiplano superior
, já que números com argumento entre 0 e
têm parte imaginária positiva.
Passo 4
Para provar que
é bijetora, precisamos mostrar que ela é injetora (não mapeia dois elementos diferentes para o mesmo) e sobrejetora (cobre todo o conjunto de chegada).
Injetora: Se
, então
. Como os argumentos estão restritos a
, multiplicando por
temos
. Isso implica que
, pois não há ambiguidades no argumento dentro desse intervalo.
Sobrejetora: Para qualquer
no semiplano superior, ou seja, com
, existe um
no conjunto de partida tal que
. Isso ocorre porque qualquer
no semiplano superior tem argumento entre 0 e
, e podemos encontrar
com argumento
, que estará entre 0 e
.
Passo 5
Agora, vamos determinar a função inversa de
. Se
, queremos expressar
em termos de
. Usando a forma polar:
Mas como
está no semiplano superior (
), seu argumento
está entre 0 e
. Assim, a inversa
será:
Resposta
A função inversa da bijeção
é dada por:
Exercícios relacionados
Exercício 14. Esboce o gráfico dos seguintes polinômios:
(a) ;
© ;
(b) ;
(a)
©
(b)
Mostre que a função exponencial
é uma bijeção do aberto
sobre o aberto
.
Calcule a derivada das seguintes funçõese determine seus pontos singulares:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Calcule
.