Mostre que a função f(z) = z^n, n ≥ 1, fornece uma bijeção entre o aberto {z: |z| > 0, 0 < arg(z) < pi/n} e o semi-plano superior {z: Im(z) > 0}. Determine a inversa dessa bijeção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a função , onde , estabelece uma bijeção entre o conjunto aberto e o semiplano superior . Depois, vamos descobrir qual é a função inversa dessa bijeção. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções complexas, especialmente sobre como elas transformam números no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo pode ser escrito na forma polar: , onde é o módulo e é o argumento de . A função então fica:
Isso significa que quando levantamos à potência , o módulo é elevado a e o argumento é multiplicado por .

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto de partida: . Ou seja, estamos considerando todos os números complexos com módulo positivo e argumento entre 0 e . Quando aplicamos , o argumento vira . Então, o novo argumento vai estar entre:
Então, o argumento de está entre 0 e , o que corresponde exatamente ao semiplano superior , já que números com argumento entre 0 e têm parte imaginária positiva.

Passo 4

Para provar que é bijetora, precisamos mostrar que ela é injetora (não mapeia dois elementos diferentes para o mesmo) e sobrejetora (cobre todo o conjunto de chegada).
Injetora: Se , então . Como os argumentos estão restritos a , multiplicando por temos . Isso implica que , pois não há ambiguidades no argumento dentro desse intervalo.
Sobrejetora: Para qualquer no semiplano superior, ou seja, com , existe um no conjunto de partida tal que . Isso ocorre porque qualquer no semiplano superior tem argumento entre 0 e , e podemos encontrar com argumento , que estará entre 0 e .

Passo 5

Agora, vamos determinar a função inversa de . Se , queremos expressar em termos de . Usando a forma polar:
Mas como está no semiplano superior ( ), seu argumento está entre 0 e . Assim, a inversa será:

Resposta

A função inversa da bijeção é dada por:

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