Calcule exp((5 + pi*i)/4), exp((7 + 3*pi*i)/2), exp((-1 - 5*pi*i)/6).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular três exponenciais de números complexos:
Para resolver isso, vamos usar a fórmula da exponencial de um número complexo na forma . Isso vai nos ajudar a transformar essas expressões em uma forma mais compreensível.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro termo:
Aqui, temos e . Aplicando a fórmula:
Sabemos que e . Substituindo esses valores:

Passo 3

Agora, vamos para o segundo termo:
Aqui, e . Aplicando a fórmula:
Sabemos que e . Substituindo:

Passo 4

Finalmente, vamos calcular o terceiro termo:
Aqui, e . Aplicando a fórmula:
Usando as identidades trigonométricas e :
Substituindo esses valores:

Resposta

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Calcule a derivada das seguintes funçõese determine seus pontos singulares:
(i) f(z) = (3z - 1) / ((z - 1)(z + 4))
(ii) f(z) = (i*z^5 + 2*z - i) / ((z - 2*i)*(z + 1)^2)
(iii) f(z) = 1 / ((z - i) * z * (z^2 + i))
(iv) f(z) = (z - i) / (z + i)
Mostre que a função f(z) = z^n, n ≥ 1, fornece uma bijeção entre o aberto {z: |z| > 0, 0 < arg(z) < pi/n} e o semi-plano superior {z: Im(z) > 0}. Determine a inversa dessa bijeção.
Determine Im(e^(i sen(z))).
Ponha tanh z = senh(z) / cosh(z). Calcule sua derivada. Dê essa função na forma u + i v. Determine os pontos z para os quais tanh z é real.