Exercício 14. Esboce o gráfico dos seguintes polinômios:
(a) f(x) = (x + 2) * (x - 1) * (x - 3);
© f(x) = x^3 - 1
(b) f(x) = 4(x - 2)(x^2 - 25);

Passo 1

Beleza, vamos resolver o Exercício 14 que pede para esboçar os gráficos de três polinômios diferentes. O conteúdo aqui é sobre gráficos de funções polinomiais. Para isso, vamos precisar identificar os zeros da função, analisar o grau e o coeficiente líder, e entender como isso influencia o formato do gráfico.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): .
Primeiro, vamos encontrar os zeros da função, ou seja, os valores de que fazem . Isso acontece quando cada fator é igual a zero:
Então, os zeros são , e .

Passo 3

Agora, vamos analisar o grau do polinômio. Multiplicando os fatores, temos um polinômio de grau 3 (o maior expoente de ). O coeficiente líder é o produto dos coeficientes dos termos , que neste caso é . Isso significa que, para muito grande positivo, tende a , e para muito grande negativo, tende a .

Passo 4

Vamos identificar os pontos onde a função cruza o eixo . Para isso, calculamos :
Portanto, a função cruza o eixo no ponto .

Passo 5

Com todos esses elementos, podemos esboçar o gráfico:
  • Zeros em , e .
  • Coeficiente líder positivo, então o gráfico sobe para à direita e desce para à esquerda.
  • Passa pelo ponto .
  • Entre os zeros, o gráfico troca de direção.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): .
Primeiro, encontramos os zeros:
Então, os zeros são , e .

Passo 7

O grau do polinômio é 3 (pois multiplicado por ). O coeficiente líder é , positivo, então o comportamento nas extremidades é semelhante ao anterior: sobe para à direita e desce para à esquerda.

Passo 8

Calculamos :
Portanto, o gráfico cruza o eixo no ponto .

Passo 9

Com esses dados, o esboço do gráfico terá:
  • Zeros em , e .
  • Coeficiente líder positivo, ascendendo para à direita e descendendo para à esquerda.
  • Passa pelo ponto .
  • Troca de direção nos zeros.

Passo 10

Por fim, a parte ©: .
Encontramos o zero resolvendo :
Então, o único zero real é .

Passo 11

O grau do polinômio é 3 e o coeficiente líder é 1, positivo. Assim, o gráfico sobe para à direita e desce para à esquerda.

Passo 12

Calculamos :
Portanto, o gráfico cruza o eixo no ponto .

Passo 13

O esboço do gráfico terá:
  • Zero em .
  • Comportamento típico de um polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo.
  • Passa pelo ponto .
  • Sem outros zeros reais, o gráfico apenas cruza o eixo uma vez.

Resposta

Os esboços dos gráficos dos polinômios são:
(a) possui zeros em , e , com comportamento assintótico indo para à direita e à esquerda, cruzando o eixo em .
(b) possui zeros em , e , com coeficiente líder positivo e cruzando o eixo em .
© possui um único zero real em , com comportamento assintótico semelhante aos anteriores e cruzando o eixo em .

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