Exercício 14. Esboce o gráfico dos seguintes polinômios:
(a)
;
©
;
(b)
;
(a)
©
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o Exercício 14 que pede para esboçar os gráficos de três polinômios diferentes. O conteúdo aqui é sobre gráficos de funções polinomiais. Para isso, vamos precisar identificar os zeros da função, analisar o grau e o coeficiente líder, e entender como isso influencia o formato do gráfico.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a):
.
Primeiro, vamos encontrar os zeros da função, ou seja, os valores de que fazem
. Isso acontece quando cada fator é igual a zero:
Primeiro, vamos encontrar os zeros da função, ou seja, os valores de
Então, os zeros são
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o grau do polinômio. Multiplicando os fatores, temos um polinômio de grau 3 (o maior expoente de
). O coeficiente líder é o produto dos coeficientes dos termos
, que neste caso é
. Isso significa que, para
muito grande positivo,
tende a
, e para
muito grande negativo,
tende a
.
Passo 4
Vamos identificar os pontos onde a função cruza o eixo
. Para isso, calculamos
:
Portanto, a função cruza o eixo
no ponto
.
Passo 5
Com todos esses elementos, podemos esboçar o gráfico:
- Zeros em
, e . - Coeficiente líder positivo, então o gráfico sobe para
à direita e desce para à esquerda. - Passa pelo ponto
. - Entre os zeros, o gráfico troca de direção.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b):
.
Primeiro, encontramos os zeros:
Primeiro, encontramos os zeros:
Então, os zeros são
,
e
.
Passo 7
O grau do polinômio é 3 (pois
multiplicado por
dá
). O coeficiente líder é
, positivo, então o comportamento nas extremidades é semelhante ao anterior: sobe para
à direita e desce para
à esquerda.
Passo 8
Calculamos
:
Portanto, o gráfico cruza o eixo
no ponto
.
Passo 9
Com esses dados, o esboço do gráfico terá:
- Zeros em
, e . - Coeficiente líder positivo, ascendendo para
à direita e descendendo para à esquerda. - Passa pelo ponto
. - Troca de direção nos zeros.
Passo 10
Por fim, a parte ©:
.
Encontramos o zero resolvendo :
Encontramos o zero resolvendo
Então, o único zero real é
.
Passo 11
O grau do polinômio é 3 e o coeficiente líder é 1, positivo. Assim, o gráfico sobe para
à direita e desce para
à esquerda.
Passo 12
Calculamos
:
Portanto, o gráfico cruza o eixo
no ponto
.
Passo 13
O esboço do gráfico terá:
- Zero em
. - Comportamento típico de um polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo.
- Passa pelo ponto
. - Sem outros zeros reais, o gráfico apenas cruza o eixo
uma vez.
Resposta
Os esboços dos gráficos dos polinômios são:
(a)
possui zeros em
,
e
, com comportamento assintótico indo para
à direita e
à esquerda, cruzando o eixo
em
.
(b)
possui zeros em
,
e
, com coeficiente líder positivo e cruzando o eixo
em
.
©
possui um único zero real em
, com comportamento assintótico semelhante aos anteriores e cruzando o eixo
em
.
Exercícios relacionados
Mostre que a função exponencial
é uma bijeção do aberto
sobre o aberto
.
Calcule as integrais definidas
(d)
(d)
Mostre que a função
, fornece uma bijeção entre o aberto
e o semi-plano superior
. Determine a inversa dessa bijeção.
Calcule a derivada das seguintes funçõese determine seus pontos singulares:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)