Determine Im(e^(i sen(z))).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a parte imaginária de . Aqui estamos trabalhando com funções complexas e usando a fórmula de Euler, que é fundamental para relacionar exponenciais e funções trigonométricas. Vamos precisar lembrar dessa fórmula e como ela se aplica nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de Euler, que diz que para qualquer número real :
Essa fórmula nos ajuda a separar a parte real e a parte imaginária de uma expressão exponencial envolvendo números complexos.

Passo 3

No nosso caso, temos . Vamos aplicar a fórmula de Euler substituindo por :
Aqui, é a parte real e é a parte imaginária da expressão.

Passo 4

Como a questão pede apenas a parte imaginária da expressão, podemos simplesmente identificar essa parte na expressão que obtivemos:
Ou seja, a parte imaginária de é .

Resposta

A parte imaginária de é .

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