Determine Im(e^(i sen(z))).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a parte imaginária de . Aqui estamos trabalhando com funções complexas e usando a fórmula de Euler, que é fundamental para relacionar exponenciais e funções trigonométricas. Vamos precisar lembrar dessa fórmula e como ela se aplica nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de Euler, que diz que para qualquer número real :
Essa fórmula nos ajuda a separar a parte real e a parte imaginária de uma expressão exponencial envolvendo números complexos.

Passo 3

No nosso caso, temos . Vamos aplicar a fórmula de Euler substituindo por :
Aqui, é a parte real e é a parte imaginária da expressão.

Passo 4

Como a questão pede apenas a parte imaginária da expressão, podemos simplesmente identificar essa parte na expressão que obtivemos:
Ou seja, a parte imaginária de é .

Resposta

A parte imaginária de é .

Exercícios relacionados

Calcule exp((5 + pi*i)/4), exp((7 + 3*pi*i)/2), exp((-1 - 5*pi*i)/6).
Calcule a derivada das seguintes funçõese determine seus pontos singulares:
(i) f(z) = (3z - 1) / ((z - 1)(z + 4))
(ii) f(z) = (i*z^5 + 2*z - i) / ((z - 2*i)*(z + 1)^2)
(iii) f(z) = 1 / ((z - i) * z * (z^2 + i))
(iv) f(z) = (z - i) / (z + i)
Ponha tanh z = senh(z) / cosh(z). Calcule sua derivada. Dê essa função na forma u + i v. Determine os pontos z para os quais tanh z é real.
Se z1, ..., zk são números tais que Re(z_j) > 0 e Re(z1 ... zj) > 0 para 1 <= j <= k, então log(z1 ... zk) = log(z1) + ... + log(zk). Aqui, log é o ramo principal do logaritmo.