Calcule a derivada de segunda ordem de .

Passo 1

Vamos calcular a derivada de segunda ordem da função . Isso envolve o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada . A função é um produto de duas funções: e . Vamos usar a regra do produto, que diz que se , então .

Passo 3

Calculando as derivadas individuais:
  • A derivada de é .
  • A derivada de requer a regra da cadeia. Primeiro, derivamos o expoente :

Passo 4

Aplicando a regra do produto:

Passo 5

Podemos simplificar a expressão da primeira derivada:

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda derivada derivando novamente :
Isso também é um produto de duas funções: e .

Passo 7

Aplicando novamente a regra do produto para encontrar :
Calculando as derivadas individuais:
  • , então

Passo 8

Substituindo na expressão de :

Passo 9

Simplificando a expressão:
Os termos e se anulam, restando:

Resposta

A derivada de segunda ordem de é:

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