Encontre das funções abaixo por diferenciação implícita.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , da equação usando a diferenciação implícita. Diferenciação implícita é útil quando está misturado com na equação e não está facilmente isolado.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que vamos aplicar a derivada a e a .

Passo 3

Vamos diferenciar o lado esquerdo: . Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada da é vezes a derivada de .
Então, temos:

Passo 4

Agora, precisamos diferenciar . Aqui, usamos a regra do produto, já que temos multiplicado por .
A regra do produto diz que , onde e .
Então:

Passo 5

Agora, vamos diferenciar cada parte:
  • Para , usamos a regra da cadeia novamente:
Substituindo de volta:

Passo 6

Voltando à etapa anterior, temos:

Passo 7

Agora, vamos isolar . Primeiro, divida ambos os lados por :

Passo 8

Em seguida, subtraia de ambos os lados:

Passo 9

Por fim, divida ambos os lados por para encontrar :

Resposta

A derivada é:

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Calcule a derivada de segunda ordem de .
Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela parábola por e pela reta em torno:
b. Da reta
Fatore
Derive cada função abaixo.